1.3 流体力学数值计算基础
ANSYS CFX 14.0超级学习手册
随着计算机技术和计算方法的发展，许多复杂的工程问题都可以采用区域离散化的数值计算方法并借助计算机得到满足工程要求的数值解。数值计算技术是现代工程学形成和发展的重要动力之一。
1.3.1 数值计算方法和分类
区域离散化就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间，实施过程是把所计算的区域划分成许多互不重叠的子区域，确定每个子区域的节点位置和该节点所代表的控制体积。
节点是指需要求解的未知物理量的几何位置，控制体积是指应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成控制体积的代表，控制体积和子区域并不总是重合的，在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
常用的离散化方法有有限差分法、有限元法和有限体积法。对这三种方法分别介绍如下。
1．有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法用泰勒（Taylor）级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分。
其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组成不同的差分计算格式。
2．有限元法
有限元法（Finite Element Method，FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
有限元法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟，但是它的求解速度比有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
3．有限体积法
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）又称为控制体积法（Control Volume Method, CVM）。其基本思路是：将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重叠的控制体积；将待解微分方程（控制方程)对每一个控制体体积积分，从而得到一组离散方程，其未知数是网格点上的因变量（可以是速度、压力以及温度等）。
为了求出控制体积的积分，必须假定因变量在网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法来看，有限体积法属于加权余量法中的子域法；从未知量的近似来看，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间物。有限体积法只寻求节点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限元法相类似。
在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。
另外，有限体积法最吸引人的特征是：所得到的结果将意味着任何一组的控制体积内，当然也就是在整个计算域内，诸如质量、动量以及能量这样的一些物理量的积分守恒都可以精确地得到满足。
对于任意数目的网格节点，这一特征都存在，因而即便是粗网格的解也照样显示准确的积分平衡，这也就使有限体积法比有限差分法和有限元法更有优势。有限体积法是目前在流体流动和传热问题求解中最有效的数值计算方法，已经得到了广泛的应用。
简言之，子域法加离散就是有限体积法的基本思想。
1.3.2 基于有限体积法的控制方程离散
将连续空间用离散的点来记录，称为离散化，在离散的点之间用光滑的曲线通过内插来连接，构成整个计算区域内的数据分布。
对于在求解域内所建立的偏微分方程，理论上是有真解的，但是，由于所处理问题自身的复杂性，如复杂的边界条件或者方程自身的复杂性等，造成很难获得方程的真解。因此，就需要通过数值的方法把计算域内的有限数量位置（即网格节点）上的因变量值当作基本未知量来处理，从而建立一组关于这些未知量的代数方程，然后通过求解代数方程组来得到这些节点值，而计算域内其他位置上的值则根据节点位置上的值来确定。这样，偏微分方程定解问题的数值解法可以分为两个阶段。
首先，用网格线将连续的计算域划分为有限离散集，即网格节点，并选取适当的途径将微分方程及其定解条件转化为网格节点上相应的代数方程组，即建立离散方程组。然后在计算机上求解离散方程组，得到节点上的解。
其次，节点之间的近似解，一般认为光滑变化，原则上可以用插值方法确定，从而得到定解问题在整个计算域上的近似解。这样，用变量的离散分布近似解代替了定解问题精确解的连续数据，这种方法即为离散近似法。
数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化，即对支配方式进行积分求解，实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。
有限体积法的基本思想在上一小节已有介绍，这里不再赘述。有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。
用于计算通量的常见方法包括一阶迎风格式、指数率格式、二阶迎风格式、QUICK格式和中心差分格式。
“迎风”的概念是相对于局部法向速度定义的。所谓迎风格式，就是用上游变量的值计算本地的变量值。在使用一阶迎风格式时，边界上的变量值被取为上游单元控制点上的变量值。迎风格式又包括了一阶迎风格式和二阶迎风格式，它们都可以看作流场变量项在上游网格单元控制点展开后的特例。
不同的是一阶迎风格式仅仅保留泰勒级数的第一项，因次认为本地单元边界点的值等于上游网格控制点的值，其格式精度为一阶精度；二阶迎风格式则保留了泰勒级数的第一项和第二项，因而认为本地单元边界点的值等于上游网格控制点的值与一个增量的和，因而其精度为二阶。
QUICK格式使用加权和插值的混合形式给出边界点上的值。QUICK格式是针对结构网格，也就是常说的四边形网格和六面体网格而提出的。
非结构化网格也可以选用QUICK格式，不过在计算时，非结构化网格边界点上的值是用二阶迎风格式计算的。在流动方向与网格划分方向一致时，QUICK格式具有更高的精度。