0. 引言
设 $f=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $$\bex u_x=v_y,\ u_y=-v_x\ra \sedd{\ba{ll} u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0\\ v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0 \ea}. \eex$$
1. 称满足 $\lap f=f_{xx}+f_{yy}=0$ 的二阶连续可微函数 $f$ 称为调和函数, 其中 $\dps{\lap=\cfrac{\p^2}{\p x^2}+\cfrac{\p^2}{\p y^2}}$ 为 Laplace 算子.
2. 若在区域 $D$ 内, $$\bex \sedd{\ba{ll} u_x=v_y\\ u_y=-v_x \ea},\quad \sedd{\ba{ll} \lap u=0\\ \lap v=0 \ea}, \eex$$ 则称 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数.
(1) 解析函数 $f=u+iv$ 中, $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数, 那 ( ) 是 $v$ 的共轭调和函数. (答案: $-u$)
(2) 反过来, $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数, 则 $f=u+iv$ 是解析函数. 于是我们有解析函数的四个等价定义: $$\bex \ba{rrcll} &&v\mbox{ 是 }u\mbox{ 的共轭调和函数}&&\\ &&\Updownarrow&&\\ \serd{\ba{rr} u,v\mbox{ 可微}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}&\lra& f=u+iv\mbox{ 解析}&\lra& \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 连续}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}\\ &&\Updownarrow&&\\ &&\dps{\forall\mbox{ 周线 }C,\ \int_Cf(\zeta)\rd \zeta=0}&& \ea \eex$$
3. 进一步地, 给定一个调和函数 $u$, 可以求出所以以 $u$ 为实部的解析函数 $f=u+iv$; 给定一个调和函数 $v$, 可以求出所以以 $v$ 为虚部的解析函数 $f=u+iv$. 证明: 比如求 $v$ ($v_x=-u_y,\ v_y=u_x)$: $$\beex \bea &\quad v_x=-u_y\\ &\ra v=-\int u_y\rd x+\varphi(y)\\ &\ra u_x=v_y=-\int u_{yy}\rd x+\varphi'(y)\\ &\ra \varphi'(y)=u_x+\int u_{yy}\rd x\\ &\ra \varphi(y)=\cdots\quad\sex{\cfrac{\p}{\p y}\sez{u_x+\int u_{yy}\rd x}=u_{xx}+u_{yy}=0}. \eea \eeex$$
(1) 例: 验证 $u=x^3-3xy^2$ 为 $\bbC$ 上的解析函数, 并求以 $u(x,y)$ 为实部的解析函数 $f(z)=u+iv$, 使其满足 $f(0) =i$.
解答: $$\beex \bea &\quad v_x=-u_y=6xy\\ &\ra v=3x^2y+\varphi(y)\\ &\ra 3x^2-3y^2=u_x=v_y=3x^2+\varphi'(y)\\ &\ra \varphi'(y)=-3y^2\\ &\ra \varphi(y)=-y^3+C\\ &\ra v=3x^2y-y^3+C\\ &\ra f=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3+C)\\ &\ra f=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3+1)\quad(f(0) =i)\\ &\ra f=z^3+C\quad(f=u(z,0)+iv(z,0)). \eea \eeex$$
作业: P 141 T 16 (1) .