《机器人自动化：建模、仿真与控制》一一第2章 Automation for Robotics 仿真

**第1章Automation for Robotics建模** 寻找系统相对精确的状态表示的过程称为建模.一般情况下,常量参数(例如物体的质量.惯性力矩.黏性摩擦系数.电容容量等)会出现在状态方程中,在这些情况下,系统辨识是必不可少的.本书中假设所有的参数都是已知的,否则,请读者阅读Eric Walter的书［WAL 14］来了解各种辨识方法.当然,不存在普适的系统建模方法.本章及后面习题的目的是用一些不同的例子来展示如何获取状态表达式.

第1章 建模 寻找系统相对精确的状态表示的过程称为建模.一般情况下,常量参数(例如物体的质量.惯性力矩.黏性摩擦系数.电容容量等)会出现在状态方程中,在这些情况下,系统辨识是必不可少的.本书中假设所有的参数都是已知的,否则,请读者阅读Eric Walter的书［WAL 14］来了解各种辨识方法.当然,不存在普适的系统建模方法.本章及后面习题的目的是用一些不同的例子来展示如何获取状态表达式.

第2章 仿真 本章将介绍如何对下述状态方程描述的非线性系统进行计算机仿真: 这对测试一个(受控或非受控)系统的行为很重要.在介绍仿真方法之前,先介绍向量场的概念,该概念可以让我们更好地理解仿真方法和一些可能在非线性系统出现的特定行为,也会给出几个图形化的概念,这对系统的图形表示是必要的.

前言 Automation for RoboticsⅠ.1状态表达式与我们紧密相关的生物.经济和机械系统通常都可以用如下微分方程来描述: 假设该系统的时间t是连续的［JAU 05］, u(t)是系统的输入(或控制)向量,y(t)是以一定精度检测出的系统输出向量.向量x(t)称为系统的状态,它表示系统的记忆,或者说当系统输入为u(t)时预测系统结果所需的信息.方程组中的第一个方程称为演化方程,该方程是一个微分方程,它给出了t时刻的状态向量x(t)的当前值和施加的控制向量u(t).第二个方程称为观测

2.4习题 习题21--捕食者猎物系统的向量场 捕食者猎物系统也称为LotkaVolterra系统,由下式表示: x·1(t)=(1-x2(t))x1(t) x·2(t)=(x1(t)-1)x2(t) 状态变量x1(t)和x2(t)表示捕食者和猎物的数目.例如,x1表示猎物以千计数量,x2表示捕食者以千计数量.即使猎物和捕食者的数目是整数,我们仍假设x1和x2是实数.该状态方程的二次项表示两者之间的相互影响.当没有捕食者时,猎物会以指数形式进行增长.同样,当没有猎物时捕食者的数目会减少. (

2.3仿真 本节介绍用积分法对下述状态方程描述的非线性系统进行计算机仿真: 该方法是一种近似法,但容易理解,并且对于描述大多数机器人系统的行为是足够的. 2.3.1欧拉法 令dt表示对于系统时间常数而言很小的数值,对应欧拉法的采样周期(例如dt=001),演化方程可以由下式近似表示: x(t+dt)-x(t)dt≈f(x(t),u(t)) 换言之: x(t+dt)≈x(t)+f(x(t),u(t))·dt 该方程可以理解为1阶泰勒公式,由此可以推导仿真算法(称为欧拉法): 定时器周期性地每隔d

1.3伺服电动机 机械系统由力或力矩控制并遵循动力学模型,该动力学模型依赖许多未知的系数.由运动学模型表述的相同的机械系统由位置.速度或加速度控制,运动学模型取决于已知的几何系数而且比较容易写成方程.在实际中,通过加入伺服电动机,可以将动力学模型转换成运动学模型.总而言之,伺服电动机是具有电气控制电路和(位置.速度或加速度)传感器的直流电动机.控制电路计算出电动机的给定电压u,以便与传感器测量的设定点w对应,w通常以脉宽调制(PWM)的方波形式给出.有以下三种伺服电动机. ● 位置伺服.传感器测

1.2机械系统 运用动力学的基本原理很容易得到机械系统(例如机器人)的状态方程.对复杂系统而言,计算相对复杂,而且计算机对代数系统的使用也是有效的.为了获得由若干个假定为严格的子系统S1,S2,-,Sm构成的机械系统的状态方程,可遵循以下三个步骤. 1)获取微分方程.对每一个具有质量m和惯性矩阵J的子系统Sk,可以用下列关系式: ∑ifi=ma ∑iΜfi=Jω· 其中,fi是作用在子系统Sk上的力,Mfi表示由力fi作用在Sk中心上产生的转矩.向量a表示Sk的切向加速度,向量ω·表示Sk的角加

2.2图形表示本节将给出几个概念,这对于仿真期间系统的图形表示是必要的. 2.2.1模式模式是一个具有两行或三行(取决于对象是在平面还是空间中)和n列的矩阵,列表示一个固定形状的多边形的n个顶点,用来表示对象.在该模式中,所有两个连续的点构成的线段的集合形成所希望的多边形的边是很重要的,例如,汽车(带有后轮)底盘(见图22)的模式M如下: 显然,图22中的汽车是运动的,前轮相对于底盘移动,同时前轮之间也有相对运动,因此它们不能纳入底盘模式.为了绘制汽车图形,需要采用3种模式:底盘的模式.左前