还贷的那些事IV——等增额还贷的计算

　　前文介绍了还贷的基本知识，以及“等本还贷的计算”和“等额还贷的计算”。这两种贷款是目前银行推出的贷款方式，虽然有部分银行推出了“周周贷”等贷款，这也是这两种贷款的衍生。

　　纵观这两种的贷款，都有一个明显的特点，就是每月的还款额是不增长的（等本还贷是每月递减的；等额还贷是每月不变的）。但这种特点，似乎不能满足一些人的需要。

　　例如，某位工作一定年限的青年，有了一点积蓄，准备买房。他就矛盾了，是贷多一点吗？目前的收入解决不了每月的还贷。贷少一点，买不到合适的房子。由于他每年的薪水都在稳步的增长，因此，他希望银行能提供一种还贷额随着月数的增长而增长的贷款。目前，银行没有提供这种贷款，但是实际计算上是可行的。这就是我说的等增额贷款，每月的还款额较上月增加一个固定值。这样，在初期收入不是很高的情况下，能多贷一点，后期收入上去后，再多还一点。

　　还是先定义变量，以及变量之间的关系。

　　1　　　　　　　　　　初始本金（广义上的本金，实际乘以一个倍数就可以了）

　　P　　　　　　　　　　利率。（一般指月利率，计算方式为年利率÷12）

　　N　　　　　　　　　　期数。（还款的次数，如贷款10年，则N=120）

　　Y_m　　　　　　　　　第m期还款额

　　X_m　　　　　　　　　第m期还款额中的本金

　　S_m　　　　　　　　　第m期还款额中的利息

　　T_m　　　　　　　　　第m期后剩余的本金

　　Q　　　　　　　　　　每月增加的还款额

　　由上面的定义可知，上面的变量之间是有关联的，满足下列式子

　　　　1≤m≤N

　　　　Y_m=X_m+S_m　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　T₀=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　　T_N=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

　　　　S_m=T_m-1×P　　　　　　　　　　　　　　　　④

　　　　T_m=T_m-1-X_m　　　　　　　　　　　　　　　⑤

　　　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1　　　　　　　　　　⑥

　　下面推导等增额还贷的每月还款额

　　　　由定义可知：

　　　　∵　　Y_m+1=Y_m+Q

　　　　∴　　X_m+1+S_m+1=X_m+S_m+Q

　　　　∴　　X_m+1+(1-X₁-X₂-……-X_m-1-X_m)P=X_m+(1-X₁-X₂-……-X_m-1)P+Q

　　　　∴　　X_m+1-X_mP=X_m+Q

　　　　∴　　X_m+1=X_m(1+P)+Q

　　　　　　令Q=-PG，则G=-Q/P

　　　　∴　　X_m+1=X_m(1+P)-PG

　　　　∴　　X_m+1-G=X_m(1+P)-PG-G=(X_m-G)(1+P)

　　　　∴　　(X_m+1-G)/(X_m-G)=1+P

　　　　∴　　X_m-G=(X₁-G)(1+P)^m-1

　　　　∴　　X_m=(X₁-G)(1+P)^m-1+G　　　　　　　　①

　　　　∵　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1

　　　　∴　　(X₁-G)+G+(X₁-G)(1+P)+G+(X₁-G)(1+P)²+G+……+(X₁-G)(1+P)^N-1+G=1

　　　　∴　　(X₁-G)((1+P)^N-1)/((1+P)-1)+NG=1

　　　　∴　　X₁-G=(1-NG)P/((1+P)^N-1)

　　　　∴　　代入①式得

　　　　　　　X_m=(1-NG)P/((1+P)^N-1)(1+P)^m-1+G

　　　　∴　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　∴　　X₁=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　∴　　Y₁=X₁+S₁=X₁+P=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P

　　　　∴　　Y_m=Y₁+(m-1)Q=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q

　　　　所以每月的还款额为(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q

　　　　其中本金(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P

　　　　补充说明一下，当Q取不同的值时，就能转化为前两种还贷方式。

　　　　1、当Q=-P/N时，此时

　　　　　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P=1/N

　　　　　　Y_m=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q=(1+(N-m+1)P)/N

　　　　　　此时，就变成了等本还贷的公式

　　　　2、当Q=0时，此时

　　　　　　X_m=(P+NQ)(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)-Q/P=P(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)

　　　　　　Y_m=(P+NQ)/((1+P)^N-1)-Q/P+P+(m-1)Q=P(1+P)^N/((1+P)^N-1)

　　　　　　此时，就变成了等额还贷的公式

　　　　下面以例子为说明

　　　　举例说明。贷款本金：10万元；贷款年限：10年；利率：5.31% ；每月多还5元；

　　　　P=5.31%÷12=0.004425；N=120；Q=5/100000=0.00005

　　作为一个收入稳定增长的青年，还是希望银行能提供这种还贷方式，也能更好的解决个人住房问题。