中国科学技大学2014年数学分析考研试题

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$    解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$\bex \exists\ c\in (0,1),\st 0<f(c)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)|

来自poorich及@xuzheng3254321.   1. ($20'$) 计算极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\sex{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}^\frac{1}{x}. \eex$$       2. ($20'$) 求定积分 $$\bex I=\int_0^1 \ln(1+\sqrt{x})\rd x. \eex$$       3. ($15'$) 求二重极限 $$\bex \lim_{x\to \infty\atop y\

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf A})=p. \eex$$ 证明: 设 $$\bex g(x)=\prod_{i=1}^s (\lm

因为还是有人到处传来传去,所以收回了, 要见请看: 家里蹲大学数学杂志目录  

一.计算题 ($6\times 5'=30'$) 1. $\dps{\vlm{n} \sex{\frac{1}{2n^2+1}+\frac{2}{2n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2n^2+n}}}$. 2. $\dps{\lim_{y\to 0}\int_y^{\frac{\pi}{2}+y}\frac{\cos x\rd x}{1+\sin x+y^2}}$. 3. $\dps{\lim_{y\to 0}\frac{\dps{\int_0^{x^2}\sin^\frac{3}{