1. 平面点集的几个基本概念
(1) 邻域 $$\bex N_\rho(z_0)=\sed{z\in\bbC;\ |z-z_0|<\rho}, \eex$$ 去心邻域 $N_\rho(z_0)\bs \sed{z_0}$.
(2) 点列 $z_n\to z_0$, 若 $$\bex \forall\ \ve>0, \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\ |z_n-z_0|<\ve\mbox{ 即 }z_n\in N_\ve(z_0). \eex$$
(3) 点 $z_0$ 与集 $E$ 的关系 $z_0$ 是 $E$ 的内点, 记作 $z_0\in E^o$, 如果 $$\bex \exists\ \rho>0,\st N_\rho(z_0)\subset E, \eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的外点, 如果 $$\bex \exists\ \rho>0,\st N_\rho(z_0)\subset E^c, \eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的界点, 记作 $z_0\in \p E$, 如果 $$\bex \forall\ \rho>0,\ N_\rho(z_0)\cap E\neq 0,\ N_\rho(z_0)\cap E^c\neq \vno; \eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的聚点, 记作 $z_0\in E'$, 如果 $$\bex \forall\ \rho>0,\ \sex{N_\rho(z_0)\bs \sed{z_0}}\cap E\neq \vno, \eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的孤立点, 如果 $$\bex \exists\ \rho>0,\ N_\rho(z_0)\cap E=\sed{z_0}. \eex$$
(4) 开集、闭集; 有界集、无界集 $E$ 是开集, 如果 $E^o=E$; $E$ 是闭集, 如果 $E'\subset E$. $E$ 是有界集, 如果 $$\bex \exists\ M>0,\st E\subset \sed{z\in\bbC;\ |z|\leq M}, \eex$$ 且称 $$\bex \mathrm{diam}(E)=\sup_{z_1,z_2\in E}|z_1-z_2| \eex$$ 为 $E$ 的直径; $E$ 是无界集, 如果 $E$ 不是有界集, 即 $$\bex \forall\ n,\ \exists\ z_n\in E,\st |z_n|\geq n. \eex$$
2. 区域与 Jordan 曲线
(1) 区域 $D$: $D$ 称为区域, 如果 $D$ 是连通开集.
(2) 闭域 $\bar D=D+\p D$.
(3) 例子
a. $\sed{z\in\bbC;\ |z|<R}$, $\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq R}$;
b. $\sed{z\in\bbC;\ \Re z<0}$, $\sed{z\in\bbC;\ \Re z>0}$, $\sed{z\in\bbC;\ \Im z>0}$, $\sed{z\in\bbC;\ \Im z<0}$;
c. $\sed{z\in\bbC;\ \Im z>0,\ |z|>1}$;
d. $\sed{z\in\bbC;\ y_1\leq \Im z\leq y_2}$;
e. $\sed{z\in\bbC;\ r<|z|<R}$;
f. $\sed{z\in\bbC;\ \Re z\cdot \Im z>0}$.
(4) 曲线 $C$
a. $z(t)=x(t)+iy(t)$, $(\al\leq t\leq\beta)$, 其中 $x(t),y(t)$ 连续.
b. 若 $z(t_1)=z(t_2)$, $t_1\neq t_2$, 则称 $z(t_1)$ 为重点.
c. 无重点的连续曲线称为简单曲线, 或 Jordan 曲线; 若在 $z(\al)=z(\beta)$, 则称为简单闭曲线.
d. 若 $x(t),y(t)$ 连续可微, 且 $x'^2(t)+y'^2(t)\neq 0$, 则称为光滑曲线; 有限多条光滑曲线衔接而成为 ``逐段光滑曲线''.
e. 曲线的长度 $$\beex \bea \ell(C)&=\sup \sum_{k=1}^n|z(t_k)-z(t_{k-1})|\\ &=\int_\al^\beta |z'(t)|\rd t\quad (C\mbox{ 逐段光滑}). \eea \eeex$$
f. Jordan 定理.
g. 曲线的方向.
h. 单连通区域、多连通区域.
作业: 第一章习题 T 6 (4) (8) .