排序算法系列之二叉查找树

基本概念

  二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

 
       序列：1 3 4 6 7 8 10 13 14                 序列：2 3 4 6 7 9 13 15 17 18 20               

 
 通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。

二叉查找树查找算法思想

在二叉查找树b中查找x的过程为：

1. 若b是空树，则搜索失败，否则：
2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
4. 查找右子树。

举例图：

二叉查找树插入算法思想

向一个二叉查找树b中插入一个节点s的算法，过程为：

1. 若b是空树，则将s所指结点作为根节点插入，否则：
2. 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回，否则：
3. 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中，否则：
4. 把s所指节点插入到右子树中。

举例图：
                            

二叉查找树删除算法思想

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

1. 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。

举例图：删除节点值 6。方便记忆：节点6的右孩子直接替换删除节点，节点6的左孩子挂在节点6的右孩子上。

二叉查找树性能分析

    每个结点的为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为，其平均查找长度为（和顺序查找相同），最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和成正比。

二叉查找树C语言实现

代码来自http://chiyx.iteye.com/blog/1628947

c语言.h代码

/*file:biTree.h*/
#ifndef CHIYX_BITREE
#define CHIYX_BITREE
#ifndef NULL
#define NULL 0
#endif
typedef int DataType;
//二叉树的节点结构
typedef struct BiTreeNode {
	DataType data;
	struct BiTreeNode *parent;
	struct BiTreeNode *left;
	struct BiTreeNode *right;
}BiTreeNode, *BiTree;

//查找：返回第一个等于data域等于key的节点，不存在返回NULL
BiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key);
//返回二叉树的最小节点,空树返回NULL
BiTreeNode *minImum(BiTree *biTree);
//返回二叉树的最大节点,空树返回NULL
BiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree);
//返回节点x的后继节点,不存在后继（节点x为最大节点）返回NULL
BiTreeNode *successor(BiTreeNode *x);
//返回节点x的前驱节点，不存在前驱（节点x为最小节点）返回NULL
BiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x);
//将值data插入到二叉树中（生成一个值为data的节点）
void insertNode(BiTree *biTree, DataType data);
//删除一个值为data的节点
void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data);
//中序遍历二叉树
void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node));
#endif

C语言实现代码：

/*file:biTree.c*/
#include <stdlib.h>
#include "biTree.h"

//查找：返回第一个等于data域等于key的节点，不存在返回NULL
BiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key) {
	BiTreeNode *curNode = *biTree;
	while (curNode != NULL && curNode->data != key) {
		if (key < curNode->data) {
			curNode = curNode->left;
		} else {
			curNode = curNode->right;
		}
	}
	return curNode;
}
//返回二叉树的最小节点,空树返回NULL
BiTreeNode *minImum(BiTree *biTree) {
	BiTreeNode *curNode = *biTree;
	while (curNode != NULL && curNode->left != NULL) {
		curNode = curNode->left;
	}
	return curNode;
}
//返回二叉树的最大节点,空树返回NULL
BiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree) {
	BiTreeNode *curNode = *biTree;
	while (curNode != NULL && curNode->right != NULL) {
		curNode = curNode->right;
	}
	return curNode;
}

//返回节点x的后继节点,不存在后继（节点x为最大节点）返回NULL
BiTreeNode *successor(BiTreeNode *x) {
         if (x == NULL) return NULL;
	//存在右子树，则后继节点为其右子树中最小的节点
	if (x != NULL && x->right != NULL) {
		return minImum(&(x->right));
	}
	while (x->parent != NULL && x->parent->right == x) {
		x = x->parent;
	}
	return x->parent; //错误版本为 x， 此处应该返回父结点
}
//返回节点x的前驱节点，不存在前驱（节点x为最小节点）返回NULL
BiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x) {
         if (x == NULL) return NULL;
	//存在左子树，则后继节点为其左子树中最大的节点
	if (x != NULL && x->left != NULL) {
		return maxImum(&(x->left));
	}
	while (x->parent != NULL && x->parent->left == x) {
		x = x->parent;
	}
	return x->parent; //错误版本为 x， 此处应该返回父结点

}

void insertNode(BiTree *biTree, DataType data) {
	//创建节点
	BiTreeNode *targetNode;

	targetNode = (BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));
	//没有足够内存
	if (targetNode == NULL) return;
	targetNode->data = data;
	targetNode->parent = NULL;
	targetNode->left = NULL;
	targetNode->right = NULL;

	BiTreeNode *p, *y;
	p = *biTree;
	y = NULL;
	while (p != NULL ) {
		y = p;
		if (targetNode->data < p->data) {
			p = p->left;
		} else {
			p = p->right;
		}
	}
	//空树，将新节点置为树根
	if (y == NULL) {
		*biTree = targetNode;
	} else {
		if (targetNode->data < y->data) {
			y->left = targetNode;
		} else {
			y->right = targetNode;
		}
	}
	targetNode->parent = y;
}
//删除一个值为data的节点
void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data) {
	//查找待删除的节点
	BiTreeNode *targetNode, *x, *y;

	targetNode = search(biTree, data);
	if (targetNode == NULL) return;
	//找出真正的删除节点，如果目标节点最多只有一个子树，则其为真正删除的节点
	//否则其后继节点（最多只有一个子树，想想为什么）为真正删除的节点，然后将后继节点的值赋给目标节点
	if (targetNode->left == NULL || targetNode->right == NULL) {
		y = targetNode;
	} else {
		y = successor(targetNode);
	}

	if (y->left != NULL) {
		x = y->left;
	} else {
		x = y->right;
	}

	if (x != NULL) {
		x->parent = y->parent;
	}

	//如果y是根节点, 则根节点变为x
	if (y->parent == NULL) {
		*biTree = x;
	} else {
		if (y->parent->right == y) {
			y->parent->right = x;
		} else {
			y->parent->left = x;
		}
	}

	if (y != targetNode) {
		targetNode->data = y->data;
	}
	//释放y占有的空间
	free(y);
}
//中序遍历二叉树
void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node)) {
	BiTreeNode *curNode;

	curNode = *biTree;
	if (curNode != NULL) {
		//遍历左子树
		inorderTraversal(&(curNode->left), visitor);
		//访问节点
		visitor(curNode);
		//遍历右子树
		inorderTraversal(&(curNode->right), visitor);
	}
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "biTree.h"
#define N  10
void printNode(BiTreeNode *node);

int main(int argc, char *argv[]) {
	BiTreeNode *root;
	int i;

	root = NULL;
	int data[N] = {10, 23, 11, 98, 111, 87, 34, 11, 33, 8};
	for (i = 0; i < N; i++) {
		insertNode(&root, data[i]);
	}
	printf("before delete:\n");
	inorderTraversal(&root, printNode);
	printf("\n");
	deleteNode(&root, 11);
	deleteNode(&root, 8);
	printf("after delete:\n");
	inorderTraversal(&root, printNode);
	printf("\n");
	exit(0);
}
void printNode(BiTreeNode *node) {
	printf("%d\t", node->data);
}

二叉查找树优化

  虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn):

1. Size Balanced Tree(SBT)
2. AVL树
3. 红黑树（红黑树系列文章）
4. Treap(Tree+Heap)

这些均可以使查找树的高度为。

后续再更！