《量化金融R语言初级教程》一2.2　解的概念

2.2　解的概念

在过去的50年中，人们开发了许多表现良好的伟大算法用于数值优化，尤其用于二次函数的情形。正如我们在上一节中看到的，我们只有二次函数和约束。所以这些方法（它们也在R中实现）可以用于最糟的情形（如果没有任何更好的情形）。

然而，数值优化的细节讨论超出了本书范围。幸运的是，在线性约束和二次函数约束的特殊情况下，这些方法不是并不必要。我们可以使用18世纪提出的拉格朗日定理。

那么，这里存在系数λ1, λ2, …, λm使得f'(a)+sum{{{lambda }_{i}}}g'(a)=0。换句话说，这个函数L:=f-sum{{{lambda }_{i}}}{{g}_{i}}:{{text{R}}^{m+n}}to R所有的偏导数都是0（Bertsekas Dimitri P. (1999))。

在我们的例子里，这个条件也是充分的。二次函数的偏导数是线性的，所以最优化产生了求解一个线性系统方程的问题，（不像数值优化）这是一个高中水平的任务。

我们来看一下，如何运用它来解决第三个问题。

可以表明，这个问题等价于下面的线性方程系统。

（两行和两列加入到协方差矩阵中，所以我们有条件同时决定两个拉格朗日乘子。）我们可以期望这个系统有唯一解。

需要强调的是，我们利用拉格朗日定理得到的结果已经不再是一个最优化问题。就像是在一维中，最小化二次函数需要求导数，但从复杂性的角度看，一个线性系统的方程是平凡的。现在，我们来看看如何处理收益率最大化的问题。

容易看出，拉格朗日函数对于λ的导数是约束本身。

为了看出这一点，我们取L的导数。

由此产生了一个非线性方程，它的求解与其说是科学不如说是艺术。