题目
给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法，不能用除法，计算任意（N-1）个数的组合乘积中的最大的一组，并写出算法的时间复杂度。
思路一 穷举法
我们把所有可能的（N-1）个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个（N-1）个数的组合，总的时间复杂度为O(N^2),但显然这不是最好的思路。
思路二 空间换时间
计算（N-1）个数的组合乘积，假设第i个（0<=i<=N-1）元素被排除在乘积之外（如下图）。
设num[]为初试数组
Left[i]表示前i个元素（包括第i个元素）的乘积（0<=i<=N-1）
Left[i] = Left[i-1] * num[i]
Right[i]表示后N-i个元素（包括第i个元素）的乘积（0<=i<=N-1）
Right[i] = Right[i+1] * num[i]
设p[i]为数组除第i个元素外，其他N-1个元素的乘积：
P[i] = Left[i-1] * Right[i+1]
举个例子：
P[4] = Left[3] * Right[5]
= a1 * a2 * a3 * a4 * a6 * a7 * a8 * a9 * a10
由于只需要从头到尾，从尾到头扫描两次即可得到数组Left[] 和 Right[],从而线性时间得到P[i]。所以很容易的就可以得到最大值（只需遍历一次p数组）。总的时间复杂度为计算数组Left[]，Right[],p[]的时间复杂度加上查找p[]最大值的时间复杂度即O(N)。
代码一
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* 日期：2015-02-15
* 作者：SJF0115
* 题目: 子数组的最大乘积
* 来源：
* 博客：
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
class Solution {
public:
double MaxProduct(double num[],int n){
if(n <= 0){
return 0;
}//if
double max = num[0],p;
double Left[n],Right[n];
// 初始化
Left[0] = num[0];
Right[n-1] = num[n-1];
// 计算Left数组
for(int i = 1;i < n;++i){
Left[i] = Left[i-1] * num[i];
}//for
// 计算Right数组
for(int i = n-2;i >= 0;--i){
Right[i] = Right[i+1] * num[i];
}//for
// max
int left,right;
for(int i = 0;i < n;++i){
left = (i - 1) >= 0 ? Left[i-1] : 1;
right = (i + 1) < n ? Right[i+1] : 1;
p = left * right;
if(p > max){
max = p;
}//if
}//for
return max;
}
};
int main() {
Solution solution;
double num[] = {-2.5,-4,0.5,3,1,2,-3};
cout<<solution.MaxProduct(num,7)<<endl;
}
思路二
通过分析，进一步减少计算量。假设N个数的乘积为P，针对P的正负性进行如下分析：
（1）P为0
那么，数组中至少包含一个0。假设除去一个0之外，其他N-1个数的乘积为Q，根据Q的正负性进行讨论：
Q为0，说明数组中至少有两个0，那么N-1个数的乘积只能为0。
Q为正，返回Q。因为如果用0替换剩余N-1个数中的任意一个，所得乘积结果都为0，小于之前的Q，因此乘积最大值为Q。
Q为负，返回0。因为如果用0替换剩余N-1个数中的任意一个，所得结乘积果都为0，大于之前的Q，因此乘积最大值为0。
（2）P为负
根据“负负得正”的乘法性质，自然想到的是从N个整数中去掉一个负数，使得N-1个数乘积为正数。而要使这个整数最大，这个被去掉的负数绝对值必须是数组中最小的。我们只需要扫描一遍数组，把绝对值最小的负数去掉就可以了。
（3）P为正
类似P为负的情况，应该去掉一个绝对值最小的正数值，这样得到的N-1个数乘积就是最大的。
上面的思路采用了直接求N个数的乘积P，进而判断P的正负性的办法，但是直接求乘积往往有溢出的危险，事实上可做一个小的转变，不需要直接乘积，而是求出数组中正数，负数和0的个数，从而判断P的正负性。
在时间复杂度上，由于只需要一次遍历数组，在遍历数组的同时就可得到数组中正数，负数和0的个数，以及数组中绝对值最小的正数和负数，时间复杂度为O(N)
代码二
/*---------------------------------------------
* 日期：2015-02-15
* 作者：SJF0115
* 题目: 子数组的最大乘积
* 来源：
* 博客：
-----------------------------------------------*/
#include <iostream>
#include <climits>
#include <cmath>
using namespace std;
class Solution {
public:
double MaxProduct(double num[],int n){
if(n <= 0){
return 0;
}//if
// 绝对值最小的负数,绝对值最小的正数
double pMin = INT_MAX,nMin = INT_MAX;
// 绝对值最小的负数,绝对值最小的正数,0的下标
int pIndex = 0,nIndex = 0,zeroIndex;
// 0,正数,负数个数
int zCount = 0,pCount = 0,nCount = 0;
// 去除掉元素的下标
int index = 0;
// 统计
for(int i = 0;i < n;++i){
if(num[i] == 0){
zeroIndex = i;
++zCount;
}//if
else if(num[i] > 0){
++pCount;
// 绝对值最小的正数
if(num[i] < pMin){
pIndex = i;
pMin = num[i];
}//if
}//else
else{
++nCount;
// 绝对值最小的负数
if(fabs(num[i]) < nMin){
nMin = fabs(num[i]);
nIndex = i;
}//if
}//else
}//for
// P为0
if(zCount > 0){
// Q为0
if(zCount - 1 > 0){
return 0;
}//if
// Q为负
if(nCount % 2){
return 0;
}//if
// Q为正
else{
// 去掉下标为zeroIndex的元素
index = zeroIndex;
}//else
}//if
// P为正去掉绝对值最小的正数
else if(nCount % 2 == 0){
index = pIndex;
}
// P为负去掉绝对值最小的负数
else{
index = nIndex;
}//else
// 最大乘积
double max = 1;
for(int i = 0;i < n;++i){
if(i != index){
max *= num[i];
}//if
}//for
return max;
}
};
int main() {
Solution solution;
double num[] = {2.5,4,-0.5,3,-1,2,3};
cout<<solution.MaxProduct(num,7)<<endl;
}
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