2.5 离散时间信号中的运算
MATLAB信号处理超级学习手册
2.5.1 离散时间系统响应
离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即：
其中，a i（i=0,1,…,N）和b j（j=0,1,…,M）为实常数
MATLAB中函数filter可对式（2-24）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。函数filter的语句格式为
y=filter(b,a,x)
其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列，y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
运行程序如下：
a=[1 -0.25 0.5];
b=[1 1];
t=0:20;
x=(1/2).^t;
y=filter(b,a,x)
subplot(2,1,1)
stem(t,x)
title('输入序列')
grid on
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
subplot(2,1,2)
stem(t,y)
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
title('响应序列')
grid on
运行结果如图2-27所示。
2.5.2 离散时间系统的冲激响应和阶跃响应
在MATLAB中，求解离散时间系统单位冲激响应，可应用信号处理工具箱提供的函数impz，其调用形式为：
h=impz(b, a, k)
式中，a,b分别是差分方程左、右端的系数向量，k表示输出序列的取值范围（可省略），h就是系统单位冲激响应（如果没有输出参数，直接调用impz(b, a, k)，则MATLAB将会在当前绘图窗口中自动画出系统单位冲激响应的图形）。
对于MATLAB 6.x及以上版本，在信号处理工具箱中还提供了求解离散时间系统单位阶跃响应的函数stepz，其调用形式为：
h=stepz(b,a,k)
式中参数与impz函数相同，如果没有输出参数，直接调用stepz(b,a,k)，则MATLAB将会在当前绘图窗口中自动画出系统单位阶跃响应的图形。
【例2-28】用impz函数求下列离散时间系统的单位冲激响应，并与理论值进行比较：
y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)。
运行程序如下：
k=0:10;
a=[1 3 2];
b=[1];
h=impz(b,a,k);
subplot(2,1,1);stem(k,h);
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
title('单位冲激响应的近似值');
grid on;
hk=-(-1).^k+2*(-2).^k;
subplot(2,1,2);stem(k,h);
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
title('单位冲激响应的理论值');
grid on;
运行结果如图2-28所示。
2.5.3 离散时间信号的卷积和运算
卷积是用来计算系统零状态响应的有力工具。例如：对于连续时间系统，有y(t)=x(t)h(t),其中h(t)为系统传递函数（即冲激响应）；对于离散时间系统，有y(n)=x(n)h(n)，其中h(n)为系统传递函数（即单位冲激响应）。
由于系统的零状态响应是激励与系统的单位取样响应的卷积，因此卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。离散时间信号的卷积定义为：
可见，离散时间信号的卷积运算是求和运算，因而常称为“卷积和”。
MATLAB信号处理工具箱提供了一个计算两个离散序列卷积和的函数，其调用形式为：
c=conv(a,b)
式中，a、b分别为待卷积的两序列的向量表示，c是卷积结果。向量c的长度为向量a、b的长度之和减1，即length(c)=length(a)+length(b)1。事实上，研究conv.m函数的源代码可知，conv函数其实就是利用前面介绍过的函数来实现的。
【例2-29】已知序列x[n]={1,2,3,4;n=0,1,2,3},y[n]={1,1,1,1;n=0,1,2,3,4};利用MATLAB计算x[n]*y[n]并画出卷积结果。
运行程序如下：
x=[1,2,3,4];
y=[1,1,1,1];
z=conv(x,y)
subplot(3,1,1);
stem(0:length(x)-1,x);
ylabel('x[n]'); xlabel('n');
grid on
subplot(3,1,2);
stem(0:length(y)-1,y);
ylabel('y[n]'); xlabel('n');
grid on
subplot(3,1,3);
stem(0:length(z)-1,z);
ylabel('z[n]'); xlabel('n');
grid on运行结果如下：
z =
1 3 6 10 9 7 4
运行结果如图2-29所示。
【例2-30】已知某系统的单位取样响应为hleft( n right) = 0.8^n left[ {uleft( n right) - uleft( {n - 8} right)} right] ，试用MATLAB求当激励信号为x(n) = u(n) - u(n - 4) 时，系统的零状态响应。
运行程序如下：
clear
nx=-1:5;
nh=-2:10;
x=uDT(nx)-uDT(nx-4);
h=0.8.^nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8));
y=conv(x,h);
ny1=nx(1)+nh(1);
ny=ny1+(0:(length(nx)+length(nh)-2));
subplot(311)
stem(nx,x,'fill'),grid on
xlabel('n'),ylabel('x(n)');
title('x(n)')
axis([-4 16 0 3])
subplot(312)
stem(nh,h','fill'),grid on
xlabel('n');ylabel('h(n)');
title('h(n)')
axis([-4 16 0 3])
subplot(313)
stem(ny,y,'fill'),grid on
xlabel('n');ylabel('y(n)');
title('y(n)=x(n)*h(n)')
axis([-4 16 0 3])
运行结果如图2-30所示。
程序中产生单位阶跃子程序如下：
function y=uDT(n)
y=n>=0;
%当参数为非负时输出1