3.1 可结合性
二元运算是有两个参数的运算: 
二元的加法和乘法是数学的核心概念,常用的这类东西很多,如求较小或较大的值,合取和析取,集合的交与并等.这些运算都是可结合的(associative):
当然,也存在不可结合的二元运算,例如除法和减法.
如果根据上下文完全可以看清所用的可结合二元运算op,我们常用隐式的乘法记法将其写成ab而不是op(a,b).由于可结合性,在涉及两次或多次应用op的表达式里不需要括号,因为所有分组方式都等价:((a0a1))an.1=
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=a0((an.2an.1))=a0a1an.1.当a0=a1==an.1=a时将其
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写成a n ,称为a的n次幂(power).
引理3.1 a n a m= a m a n= a n+m (同一元素的幂可交换.)
引理3.2 (a n)m= a nm
当然,(ab)n= a nbn 未必总成立,只在运算还可以交换时成立.
如果f和g是同一定义域上的变换,它们的复合(composition)gf也是一个变换,将x映射到g(f(x))..
引理3.3 二元运算的复合是可结合的.
在可结合运算op的定义域中选一个元素a,并把表达式op(a,x)看作只有一个形参x的一元运算,就可以把a看作是一个“乘以a”运算.这说明可以采用与变换的幂fn 的同样记法,将一个元素在可结合二元运算下的幂记为an 是合适的.这一对偶性质使我们可以用取自前一章的一个算法,证明一个有关可结合运算的幂的有趣定理.如果对某个可结合运算,存在整数0<n<m使xn= x m ,则称x在该运算下具有有穷的阶(.niteorder).如果对某可结合运算有x=x2 ,则称x是该运算的幂等元素(idempotentelement).
定理3.1一个有穷阶元素必定有一个幂等的幂(Frobenius[1895]).
证明.设x是可结合运算op下的一个有穷阶元素.令g(z)=op(x,z).由于x的阶有穷,它在g下的轨道有循环.根据定理的条件,存在n.0使得
collisionpoint(x,g)=gn(x)=g2n+1(x)
这样
g n(x)=xn+1g 2n+1(x)=x2n+2= x 2(n+1)=(x n+1)2
而且x n+1就是x的幂等的幂.
引理3.4也可以在上面的证明里用collisionpointnonterminatingorbit.