[物理学与PDEs]第4章第1节 引言

1.  弹性力学是研究弹性体在荷载的作用下, 其内力 (应力) 和变形所满足的规律的学科.     2.  荷载主要有两种, 一是作用在弹性体上的机械力 (本章讨论); 二是由温度等各种能导致弹性体变形的物理量 (下一章讨论).     3.  弹性体: 在荷载作用下产生弹性形变, 而撤去荷载后变形立即消失, 无题恢复原来的状态.     4.  本构关系: 物体的变形与应力之间的某种关系.     5.  弹性理论 $$\beex \bea\mbox{弹性理论}\sedd{\ba{ll} \m

1. 电动力学研究的对象是电磁场, 研究电磁场的基本属性---运动规律及它和带电物质的相互作用. 2. 场, 物质的一种存在方式. 3. Maxwell 方程组是电动力学中的基本方程, 是一切有关电磁场讨论的基础和出发点.

5. 6 弹性静力学方程组的定解问题           5. 6. 1 线性弹性静力学方程组         1.  线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3.  \eee$$     2.  (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\

1. 由 Maxwell 方程组易知 $$\beex \bea \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf E} }{\p t^2}-\lap{\bf E}  &=-\sex{\cfrac{1}{\ve_0}\n\rho+\mu_0\cfrac{\p {\bf j} }{\p t}},\\ \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf B} }{\p t^2}-\lap{\bf B}  &=\mu_0\rot{\bf  j}. \eea \eeex$$ 于是

1.媒质的极化 (1) 束缚电荷: 被束缚在原来位置上的电荷. (2) 在电磁场中, 束缚电荷会有一微小的运动, 而产生电偶极矩. 此即称为媒质的极化. (3) 设电极化强度 (单位体积的电偶极矩) 为 ${\bf P}$, 则 $$\bex \rho'=-\Div {\bf P}, \eex$$ 其中 $\rho'$ 为束缚电荷体密度. 再由 Gauss 定理, $$\bex \Div{\bf E}=\cfrac{1}{\ve_0}(\rho_f+\rho'), \eex$$ 其中 $\rho

5. 4 本构方程 - 应力与变形之间的关系   5.4.1. 本构关系的一般形式   1. 若 Cauchy 应力张量 ${\bf T}$ 满足 $$\bex {\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf x},{\bf F}({\bf x})), \eex$$ 则称材料是 (Cauchy) 弹性的; 这里 $\hat {\bf T}$ 称为响应函数. 若再 ${\bf T}({\bf y})=\hat{\bf T}({\bf F}({\bf x}))$, 则称弹性体是齐

1.  引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf R}{\bf U}={\bf V}{\bf R}. \eex$$ 此称为 ${\bf F}$ 的极分解.   证明:   (1)  先证明存在正交阵 ${\bf P},{\bf Q}$ 及对角阵 ${\bf D}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf P}{\bf D}{\bf Q}. \

1.  质量守恒定律: 连续性方程 $$\bee\label{2_1_2_zl} \cfrac{\p\rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0.  \eee$$   2.  动量守恒定律: $$\bee\label{2_1_2_dl} \cfrac{\p}{\p t}(\rho{\bf u})+\Div(\rho{\bf u}\otimes {\bf u}+p{\bf I})=\rho{\bf F}. \eee$$ 用 \eqref{2_1_2_zl} 可化简 \eqref{

1.  位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$     2.  位移梯度张量 $$\bex \n_x{\bf u}={\bf F}-{\bf I}. \eex$$     3.  ${\bf C}$ 的表示: $$\beex \bea {\bf C}&={\bf F}^T{\bf C}=[{\bf I}+(\n{\bf u})^T]\cdot [{\bf I}+\n {\bf u}]\\ &={\bf I}+\n{\bf u}+(\n{\bf