1. 问题
这节我们请出最后的有关成分分析和回归的神器PLSR。PLSR感觉已经把成分分析和回归发挥到极致了，下面主要介绍其思想而非完整的教程。让我们回顾一下最早的Linear Regression的缺点：如果样例数m相比特征数n少（m<n）或者特征间线性相关时，由于
（n*n矩阵）的秩小于特征个数（即
不可逆）。因此最小二乘法
就会失效。
为了解决这个问题，我们会使用PCA对样本X（m*n矩阵）进行降维，不妨称降维后的X为X’（m*r矩阵，一般加了’就表示转置，这里临时改变下），那么X’的秩为r（列不相关）。
2. PCA Revisited
所谓磨刀不误砍柴工，这里先回顾下PCA。
令X表示样本，含有m个样例
，每个样例特征维度为n，
。假设我们已经做了每个特征均值为0处理。
如果X的秩小于n，那么X的协方差矩阵
的秩小于n，因此直接使用线性回归的话不能使用最小二乘法来求解出唯一的
，我们想使用PCA来使得
可逆，这样就可以用最小二乘法来进行回归了，这样的回归称为主元回归（PCR）。
PCA的一种表示形式：
其中X是样本矩阵，P是X的协方差矩阵的特征向量（当然是按照特征值排序后选取的前r个特征向量），T是X在由P形成的新的正交子空间上的投影（也是样本X降维后的新矩阵）。
在线性代数里面我们知道，实对称阵A一定存在正交阵P，使得
为对角阵。因此可以让
的特征向量矩阵P是正交的。
其实T的列向量也是正交的，不太严谨的证明如下：
其中利用了
，这是求P的过程，
是对角阵，对角线上元素就是特征值
。这里对P做了单位化，即
。这就说明了T也是正交的， P是
的特征向量矩阵，更进一步，T是
的特征向量矩阵（
。
这样经过PCA以后，我们新的样本矩阵T（m*r）是满秩的，而且列向量正交，因此直接代入最小二乘法公式，就能得到回归系数
。
PCA的另一种表示：
（假设X秩为n）
这个公式其实和上面的表示方式
没什么区别。
（当然我们认为P是n*n的，因此
）
如果P是n*r的，也就是舍弃了特征值较小的特征向量，那么上面的加法式子就变成了
这里的E是残差矩阵。其实这个式子有着很强的几何意义，
是
第
大特征值对应的归一化后的特征向量，
就是X在
上的投影。
就是X先投影到
上，还以原始坐标系得到的X’。下面这个图可以帮助理解：
黑色线条表示原始坐标系，蓝色的点是原始的4个2维的样本点，做完PCA后，得到两个正交的特征向量坐标
和
。绿色点是样本点在
上的投影（具有最大方差），红色点是在
上的投影。
的每个分量是绿色点在
上的截距，
是红色点在
上的截距。
中的每个分量都可以看做是方向为
，截距为
相应分量大小的向量，如那个
上的橘色箭头。
就得到了X在
的所有投影向量，由于
和
正交，因此
就相当于每个点的橘色箭头的加和，可想而知，得到了原始样本点。
如果舍弃了一些特征向量如
，那么通过
只能还原出原始点的部分信息（得到的绿色点，丢失了蓝色点在另一维度上的信息）。另外，P有个名字叫做loading矩阵，T叫做score矩阵。
3. PLSR思想及步骤
我们还需要回味一下CCA来引出PLSR。在CCA中，我们将X和Y分别投影到直线得到u和v，然后计算u和v的Pearson系数（也就是Corr(u,v)），认为相关度越大越好。形式化表示：
|
Maximize 
Subject to: |
其中a和b就是要求的投影方向。
想想CCA的缺点：对特征的处理方式比较粗糙，用的是线性回归来表示u和x的关系，u也是x在某条线上的投影，因此会存在线性回归的一些缺点。我们想把PCA的成分提取技术引入CCA，使得u和v尽可能携带样本的最主要信息。还有一个更重要的问题，CCA是寻找X和Y投影后u和v的关系，显然不能通过该关系来还原出X和Y，也就是找不到X到Y的直接映射。这也是使用CCA预测时大多配上KNN的原因。
而PLSR更加聪明，同时兼顾PCA和CCA，并且解决了X和Y的映射问题。看PCA Revisited的那张图，假设对于CCA，X的投影直线是
，那么CCA只考虑了X的绿色点与Y在某条直线上投影结果的相关性，丢弃了X和Y在其他维度上的信息，因此不存在X和Y的映射。而PLSR会在CCA的基础上再做一步，由于原始蓝色点可以认为是绿色点和红色点的叠加，因此先使用X的绿色点
对Y做回归（
，样子有点怪，两边都乘以
就明白了，这里的Y类似于线性回归里的
，
类似
），然后用X的红色点
对Y的剩余部分F做回归（得到
，
）。这样Y就是两部分回归的叠加。当新来一个x时，投影一下得到其绿色点
和红色点
，然后通过r就可以还原出Y，实现了X到Y的映射。当然这只是几何上的思想描述，跟下面的细节有些出入。
下面正式介绍PLSR：
1） 设X和Y都已经过标准化（包括减均值、除标准差等）。
2） 设X的第一个主成分为
，Y的第一个主成分为
，两者都经过了单位化。（这里的主成分并不是通过PCA得出的主成分）
3） 
，
，这一步看起来和CCA是一样的，但是这里的p和q都有主成分的性质，因此有下面4）和5）的期望条件。
4） 
，即在主成分上的投影，我们期望是方差最大化。
5） 
，这个跟CCA的思路一致。
6） 综合4）和5），得到优化目标
。
形式化一点：
|
Maximize 
Subject to: |
看起来比CCA还要简单一些，其实不然，CCA做完一次优化问题就完了。但这里的
和
对PLSR来说只是一个主成分，还有其他成分呢，那些信息也要计算的。
先看该优化问题的求解吧：
引入拉格朗日乘子
分别对
求偏导，得
从上面可以看出
（两边都乘以p或q，再利用=1的约束）
下式代入上式得到
上式代入下式得到
目标函数
，要求最大。
因此
就是对称阵
的最大特征值对应的单位特征向量，
就是
最大特征值对应的单位特征向量。
可见
和
是投影方差最大和两者相关性最大上的权衡，而CCA只是相关性上最大化。
求得了
和
，即可得到
这里得到的
和
类似于上图中的绿色点，只是在绿色点上找到了X和Y的关系。如果就此结束，会出现与CCA一样的不能由X到Y映射的问题。
利用我们在PCA Revisited里面的第二种表达形式，我们可以继续做下去，建立回归方程：
这里的c和d不同于p和q，但是它们之间有一定联系，待会证明。E和G是残差矩阵。
我们进行PLSR的下面几个步骤：
1） 
，使用
对Y进行回归，原因已经解释过，先利用X的主成分对Y进行回归。
2） 使用最小二乘法，计算c，d，r分别为：
实际上这一步计算出了各个投影向量。
和
的关系如下：
再谈谈
和
的关系，虽然这里将
替换成
可以满足等式要求和几何要求，而且
就是X投影出
的方向向量。但这里我们想做的是回归（让E尽可能小），因此根据最小二乘法得到的
一般与
不同。
3） 将剩余的E当做新的X，剩余的F当做新的Y，然后按照前面的步骤求出
和
，得到：
目标函数
，这个与前面一样，
和
分别是新的
和
的最大特征值对应的单位特征向量。
4） 计算得到第二组回归系数：
这里的
和之前的
是正交的，证明如下：
其实
和不同的
都是相互正交的。
同样
和不同的
也是正交的。
但
和不同的
一般不是正交的。
5） 从上一步得到回归方程：
如果还有残差矩阵的话，可以继续计算下去。
6） 如此计算下去，最终得到：
与PCA中表达式不一样的是这里的
和不同的
之间一般不是正交的。
其实这里不必一直计算到n，可以采用类似于PCA的截尾技术，计算到合适的r即可。关于r数目的选取可以使用交叉验证方法，这与PCA里面的问题类似。
另外，
和
的关系是
上面的公式如果写成矩阵形式如下：
这就是
的回归方程，其中
。
在计算过程中，收集一下P和R的值即可。
7） 使用PLSR来预测。
从6）中可以发现Y其实是多个回归的叠加（其实
已经回归出Y的最主要信息）。我们在计算模型的过程中，得到了p和r。那么新来一个x，首先计算u（这里的u变成了实数，而不是向量了），得到
, 
, 
…
然后代入Y的式子即可求出预测的y向量，或者直接代入
8） 至此，PLSR的主要步骤结束。
4. PLSR相关问题
1） 其实不需要计算v和q，因为我们使用u去做Y的回归时认为了
，其中c是常数。之所以这样是因为前面提到过的Y可以首先在X的主要成分上做回归，然后将Y的残差矩阵在X的残差矩阵的主要成分上做回归。最后X的各个成分回归之和就是Y。
2） 一般使用的PLSR求解方法是迭代化的求解方法，称之为NIPALS，还有简化方法SIMPLS，这些方法在一般论文或参考文献中提供的网址里都有，这里就不再贴了。
3） PLSR里面还有很多高级话题，比如非线性的Kernel PLSR，异常值检测，带有缺失值的处理方法，参数选择，数据转换，扩展的层次化模型等等。可以参考更多的论文有针对性的研究。还有PLSR的几个例子在参考文件里面有，不过都不详细。
5. 一些感悟
本文试图将PCA、CCA、PLSR综合起来对比、概述和讨论，不免对符号的使用稍微都点混乱，思路也有穿插混淆。还是以推导出的公式为主进行理解吧，另外文中个人理解的内容难免有错，望不吝赐教。
之前也陆陆续续地关注了一些概率图模型和时间序列分析，以后可能会转向介绍这两方面的内容，也会穿插一些其他的内容。说实话，自学挺吃力的，尤其对我这样一个不是专业搞ML的人来说，也需要花大量时间。感叹国外的资料多，lecture多，视频多，可惜因为我这的网速和GFW原因，看不了教学视频，真是遗憾。
6. 参考文献：
1. PARTIAL LEAST-SQUARES REGRESSION: A TUTORIAL. Paul Geladi and Bruce R. Kowalski
2. 王惠文－偏最小二乘回归方法及应用
3. Partial Least Squares (PLS) Regression.
4. A Beginner's Guide to Partial Least Squares Analysis
5. Nonlinear Partial Least Squares: An Overview
6. http://www.statsoft.com/textbook/partial-least-squares/
7. Canonical Correlation a Tutorial
8. Pattern Recognition And Machine Learning