线性代数--列空间、零空间

矩阵的列空间和零空间

列空间关注的是使得Ax=b的成立的b， 零空间关注的是当b为零向量时的x的取值

举个例子：

列空间
A是如下矩阵
?????123411112345?????
因为A是三个三维向量， 不可能覆盖所有的四维空间， 所以对于Ax=b这个式子来说， 肯定会有b不存在的情况， 我们要找的就是b什么时候存在。

根据一般思维， 先研究b为零向量时， 这时候Ax=b肯定是成立的。 除此之外还有没有什么情况呢？ 肯定是有的， 当b为a中某列或者某列的 c 倍时， 也是成立的。 也就是说当b矩阵为A矩阵某列的线性组合时， Ax=b就是成立的。

零空间
零空间关注的是：当b为零向量时x的取值。 容易知道， 当b为零向量时， x为零向量时Ax=b是成立的， 因为任何向量乘以零向量结果都是零向量。 那还有没有成立的情况呢？ 注意上面的那个A矩阵， 它的前两列的加起来是等于第三列的， 所以（列一加列二减列三）结果也是零向量。 同样 c * （列一加列二减列三） 也是成立的。也就是说此时使得Ax=b成立的 x = 。 此时零空间为R3中一条过原点的直线。