2.1 均方差模型
马科维茨[Markowitz,H.M.（March 1952）]提出的均方差模型，其实是冰 淇淋/雨伞交易模型在高维上的体现。为了得到数学公式，我们需要一些相关的定义。
定义的解释如下。
- 资产Xi意味着一个方差有限的随机变量。
- 投资组合意味着资产的组合：P = sum {{w_i}{X_i}} ，其中sum {{w_i}} = woverrightarrow 1 并且overrightarrow 1 = (1,;1, cdots, 1) 。这个组合可以是仿射的或者凸的。在凸组合的情况下，所有的资产权重都非负。
- 最优化意味着选择最佳的wi系数（权重）的过程，以便使投资组合满足我们的需要（也就是说，在给定的预期收益率水平上选择最小的风险，或者在给定的风险水平上选择最高的预期收益率，等等）。
令X1, X2, …，Xn是方差有限的随机收益率变量，Qin {{text{R}}^{ntext{ }!!times!!text{ }n}}是它们的协方差矩阵，r = (E{X_1},E{X_2}, cdots ,E{X_n})并且wr=sum{{{w}_{i}}{{r}_{i}}}。
我们会关注下列的最优化问题。
很明显，wTQw是投资组合的方差，wr是预期收益率。对于权重和，我们有woverrightarrow{1}=1，这意味着我们愿意投资一个单位的资金。（我们也可以考虑增加wgeqslant0的条件，这意味着不允许做空。）下面各点详细地解释了问题。
- 第一个问题是寻找风险最小的投资组合。如果不考虑无风险资产，答案可以是非平凡的。
- 第二个问题是在给定的方差水平上选择最大的预期收益率。
- 一个稍微不同的方法是在一个想要的预期收益率水平上寻找方差最小的投资组合。
- 第四个问题是最大化一个简单的效用函数，return−λ×risk，其中λ是风险容忍的系数，它以一个任意数字表示我们对风险的态度。这个问题实际上等同于第一个问题。
- 在第五个问题中，Y是第你n+1个资产（比如说，一个指数），是一种我们不能买或者不想买，但需要复制的资产。其他类似的问题可以按同样的方式公式化。
很明显，第二个问题是一个带有二次约束的线性优化问题，而其他所有问题是带有线性约束的二次函数最优化问题。随后我们可以看到，这是一个相当重要的区别，因为线性约束容易处理而二次约束很难处理。在接下来的两节中，我们会专注于这些问题的复杂性和可能的解。
时间： 2024-10-06 08:49:49