2.9 习题
2.1 列举出真实生活中联合分布的一个实例Pr(x,y)，其中x是离散的，y是连续的。
2.2 边缘化5个变量的联合分布Pr(v,w,x,y，z)，仅仅考虑变量w和y，结果将会是什么？对于v的边缘化分布结果又是什么？
2.3 证明下面等式成立：
Pr(w,x,y,z)=Pr(x,y)Pr(zw,x,y)Pr(wx,y)
2.4 在我的口袋里有两枚硬币。第一枚硬币是公平的，所以正面向上的似然性Pr(h=1c=1)是0.5，反面向上的似然性Pr(h=0c=1)也是0.5。第二枚硬币是不公平的，正面向上的似然性Pr(h=1c=2)是0.8，而反面向上的似然性Pr(h=1c=2)是0.2。将手伸入口袋，随机选取一枚硬币。选取任何一枚硬币的先验概率是相同的。投掷所选硬币观察到正面朝上，利用贝叶斯公式计算选取第二枚硬币的后验概率。
2.5 如果变量x和y是相互独立的，变量x和z是相互独立的，那么变量y和z是相互独立的吗？
2.6 使用式(2-3)证明，当x和y相互独立时，边缘概率分布Pr(x)与任意y的条件概率Pr(xy=y)等价。
2.7 4个变量的联合概率Pr(w,x,y,z)因式分解为：
Pr(w,x,y,z)=Pr(w)Pr(zy)Pr(yx,w)Pr(x)
证明若Pr(x，w)=Pr(x)Pr(w)，x和w是相互独立的。
2.8 考虑骰子6个面{1,2,3,4,5,6}朝上的概率分别为{1/12,1/12,1/12,1/12,1/6,1/12}。骰子的期望值是多少？如果投掷两次骰子，两次投掷的期望值总共是多少？
2.9 证明期望的四个公式E［k］=k
E［kf［x］］=kE［f［x］］
E［f［x］+g［x］］=E［f［x］］+E［g［x］］
E［f［x］g［y］］=E［f［x］］E［g［y］］, (x，y相互独立)
对于最后一种情况，需要使用独立性的定义进行证明（见2.6节）。
2.10 利用习题2.9中的关系式证明以下关系式，即趋近于零的二阶矩和关于均值的二阶矩（方差）之间的关系：
E［(x－μ)2］=E［x2］－E［x］E［x］