《线性代数及其应用（原书第4版）》—— 2.9 维数与秩

2.9 维数与秩

本节从坐标系的概念开始对子空间和子空间的基继续加以讨论. 下面的定义和例子使一个有用的新术语——维数，显得非常自然，至少对子空间是这样.
坐标系
选择子空间H 的一个基代替一个纯粹生成集的主要原因，是 H中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式. 为了明确原因，假设是 H的基，H 中的一个向量x 可以由两种方式生成，设
（1）
则相减得到
（2）
因为是线性无关的，（2）中的权值必全为零. 亦即对，（1）式中的两种表示实际上是相同的.
定义假设是子空间H 的一组基，对 H中的每一个向量x ，相对于基B 的坐标是使成立的权值，且中的向量

称为 x（相对于）的坐标向量，或x 的 -坐标向量.
例1 设 . 则因线性无关，是的基. 判断x 是否在H 中，如果是，求 x相对基的坐标向量.
解如果 x在 H中，则下面的向量方程是相容的：

如果数存在，即是x 的-坐标. 由行操作得

于是 . 基确定 H上的一个“坐标系”，如图2-28中的格子所示.

注意到虽然H 中的点也在中，它们完全由属于中的坐标向量确定. 图2-28中的平面上的格子使 H看起来像 . 映射是 H和之间保持线性组合关系的一一映射. 我们称这种映射是同构的，且H 与同构.
一般地，如果是 H的基，则映射是使H 和的形态一样的一一映射（尽管 H中的向量可能有多于P 个元素）.（详细的讨论见4.4节.）
子空间的维数
可以证明，若子空间 H有一组基包含 P个向量，则H 的每个基都正好包含 P个向量，（见习题27和28），于是下列定义是有意义的.
定义非零子空间H 的维数，用 dimH表示，是H 的任意一个基的向量个数. 零子空间{0} 的维数定义为零.
空间维数为 n，的每个基由 n个向量组成. 中一个经过 0的平面是2维的，一条经过 0的直线是一维的.
例2 回忆2.8节例6中矩阵 A的零空间有一个基包含3个向量. 因此这里Nul A 的维数为3. 观察到每个基向量对应方程 Ax=0的一个自由变量. 我们的构造方法总是以这种方式产生一个基. 因此，要确定NulA 的维数，只需求出 Ax=0中的自由变量个数.
定义矩阵 A的秩（记为 rank A）是A 的列空间的维数.
因为 A的主元列形成 Col A的一个基，A 的秩正好是A 的主元列的个数.
例3 确定矩阵的秩

解简化成阶梯行：

矩阵A 有3个主元列，因此 rankA =3.
从例3的行化简可见在 Ax=0中有两个自由变量，因为A 的五列中有两列不是主元列. （非主元列对应于 Ax=0中的自由变量.）由于主元列的个数加上非主元列的个数正好是A 的列数，Col A 和 Nul A的维数有如下有用的关系.（详细内容见4.6节的秩定理.）
定理14 （秩定理）
如果一矩阵A 有 n列，则 .
下面的定理在应用中很重要，并在第5章和第6章中用到. 该定理（在4.5节中证明）当然是很显明的，若你想到P 维子空间同构于 . 由可逆矩阵定理知，中的 p个向量线性无关，当且仅当这 p个向量也生成 .
定理15 （基定理）
设 H是的p 维子空间，H 中的任何恰好由 p个成员组成的线性无关集构成H 的一个基.并且，H 中任何生成的p 个向量集也构成H 的一个基.
秩与可逆矩阵定理
各种与矩阵相关的向量空间的概念为可逆矩阵定理提供了更多的命题. 下面给出2.3节原定理的后续命题.
定理（可逆矩阵定理（续））
设 A是一矩阵，则下面的每个命题与A 是可逆矩阵的命题等价：

证根据线性无关和生成的概念，命题（m）逻辑上与命题（e）和（h）等价. 其他五个命题通过简单推导以如下关系与定理以前的命题相连：

命题（g）认为方程 Ax=b对每一属于的 b有至少一个解，由此可以推出（n），因为Col A 确实是所有b 的集合，满足方程 Ax=b相容的条件. 命题是因为维数和秩的定义. 如果A 的秩是 n，即 A的列数，则根据秩定理得，因而 . 于是有. 同时，由命题（q）推出方程 Ax=0只有平凡解，即命题（d）. 因为已知命题（d）和（g）与是可逆矩阵的命题等价，从而定理证毕.
数值计算的注解本教材中讨论的许多算法有助于概念的理解和手工进行简单的计算. 然而这些算法通常不适于处理现实生活中的大规模问题.
计算秩的算法是一个很好的例子. 表面上看将矩阵简化为阶梯阵后数主元是很容易的事情. 但除非是对元素精确指定的矩阵进行算术运算，行运算可以明显改变一个矩阵的秩. 例如，假如矩阵中x 的值在计算机中不是存为7，那么它的秩可能是1或2，取决于计算机是否视 x-7为零.
在实际应用中，通常使用A 的奇异值分解有效地确定矩阵 A的秩，在7.4节中将会讨论.
练习题