《机器人与数字人：基于MATLAB的建模与控制》——2.5节外代数简介

2.5外代数简介
外代数最早由赫尔曼瘙簚格拉斯曼在1844年提出，随后庞加莱、嘉当以及达布等许多伟大的数学家对其进行了进一步研究和发展［19, 20, 21］。针对微分几何中的多变量微分，它提供了一种有用的计算和概念工具，揭示了许多数学关系的重要实质是斜对称本质，尤其是微分和积分。
定义5令x1,…,xm为瘙綆n空间中的m个向量(m≤n)，对于任何i,j=1,…,m，如果以下条件成立，那么xi∧xj称为楔积或者外积。
1斜对称：xi∧xj=-xj∧xi。
2分配律：对于任意两个常量a1和a2，有(a1xi+a2xj)∧xk=a1xi∧xk+a2xj∧xk。
3结合律：xi∧(xj∧xk)=(xi∧xj)∧xk。
定义的第一个斜对称性条件表明，若有两个相同向量，则总有xi∧xi=0。不失一般性，令瘙綆3中的三个独立的三维变量分别为x1、x2和x3，选择其中任意两个求楔积，所有的组合构成二阶多变量空间Λ2(R3)的基元：

{x1∧x2,x2∧x3,x1∧x3}
如果每次仅选三个向量中的一个，那么基元变为{x1, x2, x3}，且外积Λ1(瘙綆3)不存在。而如果同时选择这三个向量，那么一维空间Λ3(瘙綆3)的基元为x1∧x2∧x3。因此，在n维线性空间瘙綆n中，k阶多维向量空间Λk(瘙綆n)的维度为其组合的总数
n
k=n!k!(n－k)!
因此，楔积或者外积与叉积是完全不同的，尽管它们都是斜对称的。
这种外积运算具有很重要的应用价值。首先，令基元为{e1,e2,e3}的三维空间中的三个非平行向量分别给定为u=u1e1+u2e2+u3e3、v=v1e1+v2e2+v3e3和w=w1e1+w2e2+w3e3。这里，用协变式来表示向量u、v和w，与工程应用中的传统符号相匹配。那么
u∧v∧w=∑3i,j,k=1uivjwk(ei∧ej∧ek)
基于楔积规则，展开上述求和公式，注意到e1∧e3∧e2=-e1∧e2∧e3, e3∧e1∧e2=-e1∧e3∧e2=e1∧e2∧e3，依次类推，立即意识到在求和公式左边，最终仅有一个公因式e1∧e2∧e3，这是Λ3(瘙綆3)的基元，其相关系数如下：
u1v2w3+u2v3w1+u3v1w2－u1v3w2－u2v1w3－u3v2w1
这个系数恰好等于以下由三个向量u、v和w组成的3×3增广矩阵V的行列式：
V=u1u2u3
v1v2v3
w1w2w3