[物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组

试证明: 当流场为无旋, 即 $\rot{\bf u}={\bf 0}$ 时, 理想流体的 Euler 方程可写为如下形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf u}}{\p t}+\n \cfrac{u^2}{2}+\cfrac{1}{\rho}\n p={\bf F}. \eex$$   证明: 仅须注意到 $$\bex ({\bf u}\cdot\n){\bf u}=\Div({\bf u}\otimes{\bf u})= (\Div{\bf u}){\bf u}+\rot{\bf

[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程   [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程   [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题   [物理学与PDEs]第2章习题4 习题 3 的变分   [物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值   [物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组   [物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解   [物理学与PDEs]第2章习题8

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势   [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势   [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题   [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势   [物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度   [物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场   [物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场   [物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布    [物理

[物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程   [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程   [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构   [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场   [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量   [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程   [物理学与PDEs]第3章习题4 理想磁流体的能量守恒方程   [物理学与PDEs]第3章习题5 一维理想磁流体力学方程组的数学结构   [物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构   [物理学与PDEs]

写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 (见第二章 $\S 4$), 并证明越过强间断线, 函数 $Z$ 保持连续.   解答:   (1)  具守恒律形式的一维反应流动力学方程组为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p}{\p

试计算由习题 4 给出的电偶极子的所形成的电场的电场强度. 解答: $$\beex \bea {\bf E}(P)&=\cfrac{1}{4\pi\ve_0} \sez{\cfrac{-q}{r_{P_0P}^3}{\bf r}_{P_0P}+\cfrac{q}{r_{P_1P}^3}{\bf r}_{P_1P}}\\ &=\cfrac{q}{4\pi \ve_0} \sez{ \sex{-\cfrac{1}{r_{P_0P}^3}+\cfrac{1}{r_{P_0P}^3}}{\bf r

设 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 分别为电磁场的标势及矢势 (见第一章 $\S$ 6). 试证明: 若 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 满足条件 $$\bex \phi+\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\Div{\bf A}=0, \eex$$ 则方程 (2. 32) 可写为如下的形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf A}}{\p t}={\bf u}\times\rot{\bf A}+\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf A}.

设流场中流体的应力张量为 ${\bf P}=(p_{ij})$. 试证明: 在以某点为中心, $r$ 为半径的球面 $S_r$ 上的法向应力分量的平均值, 在 $r\to 0$ 时的极限为该点正应力的平均值, 即成立 $$\bex \lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^2}\int_{S_r}{\bf p}_n\cdot{\bf n}\rd S =\cfrac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33}), \eex$$ 其中 ${\bf p}_n$ 由 (2.