【算法导论】动态规划之矩阵链乘法

       所谓矩阵链乘法是指当一些矩阵相乘时，如何加括号来改变乘法顺序从而来降低乘法次数。例如有三个矩阵连乘：A1*A2*A3，其维数分别为：10*100，100*5，5*50.如果按照（（A1*A2）*A3）来计算的话，求（A1*A2）要10*100*5=5000次乘法，再乘以A3需要10*5*50=2500次乘法，因此总共需要7500次乘法。如果按照（A1*（A2*A3））来计算的话，求（A2*A3）要100*5*50=25000次乘法，再乘以A1需要10*100*50=50000次乘法，因此总共需要75000次乘法。可见，按不同的顺序计算，代价相差很大。

        矩阵链乘法问题可以表述如下：给定n个矩阵构成的一个链（A1*A2*A3……*An），其中i=1,2,……n,矩阵Ai的维数为p(i-1)*p(i),对于乘积A1*A2*A3……*An以一种最小化标量乘法次数的方式进行加括号。

        解决这个问题，我们可以用穷举法，但是n很大时，这不是个好方法，其时间复杂度为指数形式。拿上面的例子来说，加括号后把矩阵链分成了两部分，计算代价为两者代价的和。因此假设这种方法的代价最少，则两个部分的代价也是最小的，如果不是最小的，那么这种方法就不是最优的，因此矩阵链乘法具有最优子结构。因此我们可以利用子问题的最优解来构造原问题的一个最优解。所以，可以把问题分割为两个子问题（A1*A2*A3……*Ak和A(k+1)*A(k+2)*A(k+3)……*An）,需找子问题的最优解，然后合并这些问题的最优解。从下面的程序可以看出，其时间复杂度为n*n*n.

上面算法的实现程序如下：

#include<stdio.h>

void print_parens(int s[6][6],int i ,int j);//打印加括号的位置
void matrix_order(int *p,int n,int m[6][6],int s[6][6]);//计算最佳的加括号的方式
void main()
{
	int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};//记录6个矩阵的行和列，注意相邻矩阵的行和列是相同的
	int m[6][6]={0};//存储第i个矩阵到第j个矩阵的计算代价（以乘法次数来表示）
	int s[6][6]={0};//存储第i个矩阵到第j个矩阵的最小代价时的分为两部分的位置
	int n=6;//矩阵个数
	matrix_order(p,n,m,s);
	printf("最终加括号的形式为： ");
	print_parens(s,0 ,5);//计算从第1个矩阵到第6个矩阵的最优加括号的方法
	printf("\n");

}
/****************************************************\
函数功能：计算最佳的加括号的方式，得到m和s矩阵
输入：    矩阵的行和列p,初始化的m和s矩阵
输出：    无
\****************************************************/
void matrix_order(int *p,int n,int m[6][6],int s[6][6])
{
	int q=0;
	int j=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		m[i][i]=0;
	for(int l=2;l<=n;l++)
		for(int i=0;i<n-l+1;i++)
		{
			j=i+l-1;
			m[i][j]=1000000;
			for(int k=i;k<j;k++)//在i,j中遍历每一个分割的位置
			{
				q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];//计算代价
				if(q<m[i][j])
				{
					m[i][j]=q;
					s[i][j]=k;
				}

			}
		}
}

/****************************************************\
函数功能：打印加括号的位置
输入：    s矩阵，想要计算的矩阵链的起始和结尾位置
输出：    无
\****************************************************/
void print_parens(int s[6][6],int i ,int j)
{
	if(i==j)
		printf("A%d",i);
	else
	{
		printf("(");
		print_parens(s,i,s[i][j]);
		print_parens(s,s[i][j]+1,j);//递归调用
		printf(")");
	}

}

在上面程序的实现中，矩阵链的参数如下表：

表示第i个矩阵到第j个矩阵的计算代价矩阵m[i][j]和表示第i个矩阵到第j个矩阵的最小代价时的分为两部分的位置矩阵s[i][j]的结果如下图：

从上面左图的m矩阵可以看出任意第i个到第j个矩阵连乘的乘法次数。最终的加括号形式为：（A1(A2A3))((A4A5)A6)

用动态规划算法解矩阵链乘法问题需要时间为O(n^3),空间为O(n^2),这比采用穷举法的指数时间相比要有效的多。

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/16922431

作者：nineheadedbird