1 并集 (union)
(1) 定义: $$\bex \cup_{\lambda\in \vLa}A_\lambda =\sed{x;\exists\ \lambda\in \vLa,\st x\in A_\lambda}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \vLa=\bbZ^+,\quad A_\lambda=\sed{\frac{m}{\lambda};m\in\bbZ},\quad \cup_{\lambda\in \vLa}A_\lambda=\bbQ. \eex$$
(3) 例 2: $$\bex \cup_{n=1}^\infty \sez{a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}}=(a,b). \eex$$
(4) 例 3: $$\bex \cup_{n=1}^\infty \sed{x;f(x)>\frac{1}{n}}=\sed{x;f(x)>0}. \eex$$
2 交集 (intersection)
(1) 定义: $$\bex \cap_{\lambda\in \vLa}A_\lambda =\sed{x;\forall\ \lambda\in\vLa,\mbox{ 有 }x\in A_\lambda}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \cap_{n=1}^\infty\sex{a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}}=[a,b]. \eex$$
(3) 例 2: 设 $f_n$ 是 $E$ 上的函数列, 则对 $\forall\ c\in\bbR$, $$\bex \sed{x;\sup_nf_n(x)\leq c}=\cap_{n=1}^\infty\sed{x;f_n(x)\leq c}; \eex$$ $$\bex \sed{x;\inf_nf_n(x)<c}=\cup_{n=1}^\infty \sed{x;f_n(x)<c}. \eex$$
3 交并运算律、De Morgan 律及其他
(1) 交换律 (commutativity): $$\bex A\cup B=B\cup A, \quad A\cap B=B\cap A. \eex$$
(2) 集合律 (associativity): $$\bex (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),\quad (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \eex$$
(3) 分配律 (distributivity): $$\bex A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C), \quad A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C). \eex$$
(4) 幂等律 (idempotency): $$\bex A\cup A=A,\quad A\cap A=A. \eex$$
(5) 差 (difference), 补 (complement): $$\bex A\bs B=\sed{x;x\in A,x\not\in B},\quad A^c=\sed{x\in S;x\in A}\quad\sex{S\mbox{ 是全集}}. \eex$$
(6) De Morgan 律: $$\bex \sex{\cap_{\lambda\in \vLa}A_\lambda}^c =\cup_{\lambda\in \vLa}A_\lambda^c\quad\sex{\mbox{交的补=补的并}}; \eex$$ $$\bex \sex{\cup_{\lambda\in \vLa}A_\lambda}^c =\cap_{\lambda\in \vLa}A_\lambda^c\quad\sex{\mbox{并的补=补的交}}. \eex$$
4 数学语言的集合表示
(1) 关键点: $$\bex \mbox{存在}\lra\mbox{并运算},\quad \mbox{任意}\lra\mbox{交运算}. \eex$$
(2) 例 1: $$\beex \bea &\quad\lim_{n\to\infty}a_n=a\\ &\lra \forall\ k\in\bbZ^+,\ \exists\ N\in\bbZ^+,\ \forall\ n\geq N,\mbox{ 有 }a\in \sex{a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}}\\ &\ra a\in \cap_{k=1}^\infty \cup_{N=1}^\infty\cap_{n=N}^\infty \sex{a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}}. \eea \eeex$$
再由极限的唯一性即知 $$\bex \sed{a}=\cap_{k=1}^\infty \cup_{N=1}^\infty\cap_{n=N}^\infty \sex{a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}}. \eex$$
(3) 例 2: $$\bex \sed{x;\sed{f_n(x)}\mbox{ 有界}} =\cup_{M\in\bbR^+}\cap_{n=1}^\infty \sed{x;f_n(x)\leq M}. \eex$$
(4) 例 3: $$\bex \sed{x;\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0} =\cap_{\ve>0}\cup_{N\in\bbN}\cap_{n\geq N}\sed{x;|f_n(x)|<\ve}. \eex$$
(5) 思考题: $$\bex \sed{x;\sed{f_n(x)}\mbox{ 无界}}=? \eex$$ $$\bex \sed{x;\lim_{n\to\infty}f_n(x)\neq 0\mbox{ 或不存在}}=? \eex$$
提示: 利用 De Morgan 律.
5 上、下极限集
设 $\sed{A_n}$ 是一集列.
(1) 定义: $\sed{A_n}$ 的上限集 $$\beex \bea \varlimsup_{n\to\infty}A_n &=\sed{x;\mbox{存在无穷多个 }n,\mbox{ 使得 }x\in A_n}\\ &=\sed{x;\forall\ n\in\bbZ^+,\ \exists\ m\geq n,\st x\in A_m}\\ &=\cap_{n=1}^\infty\cup_{m=n}^\infty A_m. \eea \eeex$$
(2) 定义: $\sed{A_n}$ 的下限集 $$\beex \bea \varliminf_{n\to\infty}A_n &=\sed{x;\mbox{当 }n\mbox{ 充分大时}, x\in A_n}\\ &=\sed{x;\exists\ n\in\bbZ^+,\ \forall\ m\geq n,\mbox{ 有 } x\in A_m}\\ &=\cup_{n=1}^\infty\cap_{m=n}^\infty A_m; \eea \eeex$$
(3) 例 1: $$\beex\bea \sed{a}&=\cap_{k=1}^\infty \cup_{N=1}^\infty\cap_{n=N}^\infty \sex{a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}}\\&=\cap_{k=1}^\infty \varliminf_{n\to\infty}\sex{a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}}. \eea\eeex$$
(4) 例 2: 设 $$\bex A_{2m+1}=\sez{0,2-\frac{1}{2m+1}},\quad m=0,1,2,\cdots; \eex$$ $$\bex A_{2m}=\sez{0,1+\frac{1}{2m}},\quad m=1,2,3,\cdots. \eex$$
求 $\dps{\varlimsup_{n\to\infty}A_n,\ \varliminf_{n\to\infty}A_n}$.
提示: 直接利用定义可求得结果为 $[0,1]$, $[0,2)$.
(5) 关系:
$$\bex \cap_{n=1}^\infty A_n\subset \varliminf_{n\to\infty}A_n \subset \varlimsup_{n\to\infty}A_n \subset \cup_{n=1}^\infty A_n. \eex$$
(6) 集列极限存在的定义: $$\bex \lim_{n\to\infty}A_n\mbox{ 存在}\lra \varliminf_{n\to\infty}A_n=\varlimsup_{n\to\infty}A_n. \eex$$
6 单调集列
设 $\sed{A_n}$ 是一集列.
(1) 若 $A_1\subset A_2\subset A_3\subset\cdots$, 则称 $\sed{A_n}$ 为单增集列.
(2) 若 $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\cdots$, 则称 $\sed{A_n}$ 为单减集列.
(3) 若 $A_n$ 单增, 则 $$\bex \lim_{n\to\infty}A_n=\cup_{n=1}^\infty A_n; \eex$$ 若 $A_n$ 单减, 则 $$\bex \lim_{n\to\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty A_n. \eex$$
提示: 利用集列极限存在定义证明之.
(4) 例 1: $$\beex \bea \sed{x;f(x)>0} &=\cup_{n=1}^\infty \sed{x;f(x)>\frac{1}{n}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sed{x;f(x)>\frac{1}{n}}. \eea \eeex$$
7 集合的直积 (Cartesian product)
(1) 定义: 设 $\sed{A_i}_{i=1}^n$ 是集合, 则称 $$\bex \prod_{i=1}^n A_i=A_\times \cdots\times A_n=\sed{(a_1,\cdots,a_n);a_i\in A_i} \eex$$
为 $A_1,\cdots,A_n$ 的直积; 类似的, $$\bex \prod_{i=1}^\infty A_i=\sed{(a_1,\cdots,a_n,\cdots);a_i\in A_i}, \eex$$ $$\bex A^n=\underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{n\mbox{ 个}}. \eex$$
(2) 例 1: $$\bex \bbR^\infty=\sed{(a_1,\cdots,a_n,\cdots);a_n\in\bbR} \eex$$
是实数列全体.