编程之美:平面最近点对

一.概念引入

        最接近点对问题的提法是:给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。

        最简单的就是直接暴力，也可以分治，使用分治的话关键是如何合并，如果两边都是n/2个点比较的话，合并的时间是O(n^2)，那么T(n)=2T(n/2)+O(n2)，它的解为T(n)=O(n2)，还是没什么优势，这就引导我们去优化合并算法。

        为了找到一个有效的合并算法，可以先考虑一维情形，看下图：

        假设左右两边的最小距离是ans={ans1,ans2}，很有可能最小距离分别存在于直线两端p3、q3，如果真是这样，则一定在p3∈(m-δ,m]，q3∈(m,m+δ]，且根据鸽巢原理，在这两个半闭区间只有一个点，否则就违背了ans的定义(两边存在更小距离)，关键是选好划分点，最坏T(n)=T(n-1)+O(n)，它的解是T(n)=O(n2)，这种效率降低的现象可以通过适当选择分割点m，使左右两边有大致相等个数的点。

        下面看二维情形：

        考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有dis(p,q)<ans(图中的sigma)。满足这个条件的P2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个δ×2δ的矩形R中，由δ的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2δ的边3等分，将它的长为δ的边2等分，由此导出6个（δ/2）×（2δ/3）的矩形，如下图

        若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。设u,v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则因此d(u,v)≤5δ/6<δ 。这与δ的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图4(b)是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者，而不是n2/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

        参考资料：http://blog.csdn.net/junerfsoft/article/details/2975495

二.算法Java实现

        以hdu1007为例，果断AC……

import java.util.*;
/*
 * x轴排序tle，y轴果断ac
 */
public class HDU1007 {

    public static void main(String[] args) {
        new DK().go();
    }
}

class Point implements Comparable<Point>{
    double x;
    double y;

    public Point() {
        this.x = 0;
        this.y = 0;
    }

    @Override
    public int compareTo(Point obj) {
        Point other = obj;
        if(this.y!=other.y) {//由小到大排序
            return (int)Math.ceil(this.y - other.y);
        }
        return (int)Math.ceil(this.x - other.x);
    }
}

class DK {

    double x;
    double y;
    Point point[];
    int a[];

    public void go() {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while(true) {
            int n = sc.nextInt();
            if(0==n) {
                break;
            }
            point = new Point[n];
            for(int i=0; i<n; i++) {
                point[i] = new Point();
            }
            for(int i=0; i<n; i++) {
                x = sc.nextDouble();
                y = sc.nextDouble();
                point[i].x = x;
                point[i].y = y;
            }
            Arrays.sort(point);
//            for(int i=0; i<n; i++) {
//                System.out.println(point[i].x+" "+point[i].y);
//            }
            a = new int[n];
            double ans = solve(0,n-1)/2;
            System.out.println(String.format("%.2f", ans));
        }
    }
    private double solve(int left, int right) {
        double ans = 1e-7;
        if(left==right) {
            return ans;
        }
        if(left==right-1) {
            return distance(point[left], point[right]);
        }
        int mid = (left+right)>>1;
        double ans1 = solve(left,mid);
        //注意：不是mid+1
        double ans2 = solve(mid,right);
        ans = Math.min(ans1,ans2);
        int j = 0;
        for(int i=left; i<=right; i++) {
            if(Math.abs(point[i].y-point[mid].y)<=ans) {
                a[j++] = i;
            }
        }
        /*
         * 加上下面的排序就AC，否则WA，我认为至多TLE，
         * 因为扫描的是和point[i]最相近的两个矩形2*ans区间
         */
        //不知道如何用comparator接口实现间接排序，所以就写了个选择排序
        mySort(a,j);
        for(int i=0; i<j; i++) {
            for(int k=i+1; k<j&&Math.abs(point[a[i]].x - point[a[k]].x)<ans; k++) {
                double dis = distance(a[i], a[k]);
                if(ans>dis) {
                    ans = dis;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    private void mySort(int[] a, int j) {
        for(int i=0; i<j; i++) {
            for(int k=i+1; k<j; k++) {
                if(point[a[i]].x<point[a[k]].x) {
                    int temp = a[i];
                    a[i] = a[k];
                    a[k] = temp;
                }
            }
        }
    }
    private double distance(Point p1, Point p2) {
        double dis = Math.hypot(p1.x-p2.x, p1.y-p2.y);
        return dis;
    }
    private double distance(int i, int j) {//point搞为成员变量
        double dis = Math.hypot(point[i].x-point[j].x, point[i].y-point[j].y);
        return dis;
    }
}
//class Com implements Comparator<Point> {
//
//    @Override
//    public int compare(Point o1, Point o2) {
//
//        return o1.y - o2.y;
//    }
//}