[数分提高]2014-2015-2第8教学周第2次课 (2015-04-23)

设 $$\bex a,b>0,\quad 0\leq f\in \calR[a,b],\quad \int_a^b xf(x)\rd x=0. \eex$$ 试证: $$\bex \int_a^b x^2f(x)\rd x\leq ab \int_a^b f(x)\rd x; \eex$$ 并给出使得下列不等式成立的 (您认为的) 最优数: $$\bex \int_a^b x^3f(x)\rd x\leq (\quad) \int_a^b f(x)\rd x. \eex$$   解答: 由 $$

求极限 $$\bex \vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}. \eex$$       解答: 还记得对数不等式么: $$\bex \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,\quad x>0. \eex$$ 我们有 $$\beex \bea \ln\dfrac{n^2+i}{n^2-i}&=\ln\sex{1+\dfrac{2i}{n^2-i}} <\dfr

试求 $$\bex \max\sed{\al;\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\quad \forall\ n\in\bbN}. \eex$$   解答: $$\beex \bea &\quad \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\quad\forall\ n\in\bbN\\ &\lra (n+\al)\ln\sex{1+\frac{1}{n}}\leq 1,\quad\forall\ n\in\bbN\\ &

  1. 试证: $$\bex \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} +\frac{|b|}{1+|b|}. \eex$$   2. 试证: (1). $$\bex 0<x<1\ra x-\frac{1}{x}<2\ln x. \eex$$ (2). 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上 $\searrow$, 可导, $$\bex x\in (0,\infty)\ra 0<f(x)<|f'(x)|, \eex$$

1. $$\bex \vlm{n}\sex{\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}}. \eex$$ 2. 对 $\al,\beta\neq -1$, 求 $$\bex \vlm{n}\frac{[1^\al+3^\al+\cdots+(2n+1)^\al]^{\beta+1}}{[2^\beta+4^\beta+\cdots+(2n)^\beta]^{\al+1}}. \eex$$ 3. $$\bex \vlm{n}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin

求极限 $$\bex \vlm{n}\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}},\quad \vlm{n}\sex{\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k}}-\frac{n}{k+1}}. \eex$$   解答: $$\beex \bea \mbox{第一个极限}&=\vlm{n}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\quad\sex{\mbox{Stolz  公式}}\\ &=\vlm{n}\frac{

试判断 $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x\quad(n\in\bbN) \eex$$ 的敛散性. 解答: $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x =\int_{-\infty}^{-1}+\int_{-1}^0 +\int_0^1+\int_1^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\f

1. 试证: $$\bex a,b\geq 1\ra ab\leq e^{a-1}+b\ln b. \eex$$ 证明: 还记得 Young 不等式么? 直接令 $f(x)=e^x-1$, $f^{-1}(y)=\ln (1+y)$, 而 $$\bex (x-1)(y-1)\leq \int_0^{x-1}(e^t-1)\rd t +\int_0^{y-1}\ln(1+t)\rd t =1+e^{x-1}-x-y+y\ln y. \eex$$ (当然, 您也可以按照 Young 不等式的证明方法

判断下列命题是否正确, 正确的给予证明, 错误的举出反例. (1). $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 则 $f$ 有原函数. (2). $f$ 有原函数, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.   解答:  (1). 错误. 比如 $[0,1]$ 上的 Riemann 函数 $R(x)$, 其是 Riemann 可积的, 但由 $$\bex F(x)=\int_0^x R(t)\rd t=0\ra F'(x)=0\neq R(x),\quad x\i