问题描述

如何证明熵函数的凸性？

熵函数有凸性，怎么证明？用二阶倒数吗？
求解答。

解决方案

函数凹凸性与二次导数有关
如果函数某点的一阶导数等于零
该点的二阶导数若大于0,则函数在该点是极小值,函数在该点附近是下凹的
若该点的二阶导数若小于0,则函数在该点是极大值,函数在该点附近是上凸的
若等于0,则该点为拐点
若函数的二阶导数恒大于0,函数是下凹的
若函数的二阶导数恒小于0,则函数上凸的
从函数的几何意义来分析：
因为随着凹凸变化，曲线的切线斜率会出现相应的改变。
1在凹最低处或凸最高处，切线斜率为0，即一阶导数为0
2在凹图象最低处左右，一阶导数从最低处左方的>0趋于右方的0
在凸图象最高处左右，一阶导数从最高处左方的0,这一过程二阶导数<0
因此根据二阶导数可以判断函数的凹凸性质

解决方案二：

证明函数的凹凸性可以用二阶导数，f''(x)
f[(x1+x2)/2]>[f(X1)+f(x2)]/2,

解决方案三：

证明函数的凹凸性可以用二阶导数，f''(x) [f(X1)+f(x2)]/2,来证明是凸函数。

解决方案四：

证明函数的凹凸性可以用二阶导数，f''(x) [f(X1)+f(x2)]/2,来证明是凸函数。