最优矩阵链乘

一.问题描述　　

　　与分治法不同的是动归的子问题间不是相互独立的，前一个往往为后一个提供信息。　

　　看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50   按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次   按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次  

　　所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。  

二.问题分析

　　枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。  

　　令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。 显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0；如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡，所以i<=k<j ;

　　注意的问题：计算顺序！！！   因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候，m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。

　　下面采用记忆化搜索实现。

三.程序实现

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 105;
 4 int c[N][N],s[N][N],p[N];
 5
 6  //根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出
 7 void traceback(int i,int j)
 8 {
 9     if(i==j)
10         return ;
11     traceback(i,s[i][j]);
12     traceback(s[i][j]+1,j);
13     cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
14 }
15
16 int chain(int i,int j)
17 {
18     if(c[i][j]>0)
19         return c[i][j];
20     if(i==j)
21         return 0;
22     //初始化
23     int u=chain(i,i)+chain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
24     s[i][j]=i;
25     for(int k=i+1;k<j;k++)
26     {
27         int t=chain(i,k)+chain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];
28         if(t<u)
29         {
30             u=t;
31             s[i][j]=k;
32         }
33
34
35     }
36     c[i][j]=u;
37     return u;
38 }
39 int main(int argc, char *argv[])
40 {
41     int n,i,j;
42     cin>>n;
43     for(i=0;i<=n;i++)
44     cin>>p[i];
45     cout<<chain(1,n)<<endl;
46     traceback(1,n);
47     //while(1);
48     return 0;
49 }