[再寄小读者之数学篇](2014-07-27 打印错误吧)

[再寄小读者之数学篇](2014-12-24 乘积型不等式)   [再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)  试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$    [再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.   [再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term) $$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cd

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(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf A})=p. \eex$$ 证明: 设 $$\bex g(x)=\prod_{i=1}^s (\lm

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$    解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$\bex \exists\ c\in (0,1),\st 0<f(c)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)|

设 ${\bf X},{\bf Y}$ 分别为 $m\times n$ 与 $n\times m$ 阵, 且 $$\bex {\bf Y}{\bf X}={\bf E}_n,\quad {\bf A}={\bf E}_m+{\bf X}{\bf Y}. \eex$$ 证明: ${\bf A}$ 相似于对角阵. 证明: 由 ${\bf Y}{\bf X}={\bf E}_n$ 知 $$\bex n=\rank({\bf Y}{\bf X})\leq \min\sed{\rank({\bf Y}),

设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.   解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n(n-1)\ (n\geq 3)$.

在 [赵春来, 徐明曜, <抽象代数I>, 习题 1.3, Page 46] 有华罗庚等式: $$\bex AB\neq 0,E\ra A-\sex{A^{-1}+\sex{B^{-1}-A}^{-1}}^{-1}=ABA. \eex$$  本来打算利用它给出[家里蹲大学数学杂志]第291期南京航空航天大学2014年高等代数考研试题参考解答最后一题的一个新证明. 可惜了. 

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$.   解答: 由 H\"older 不等式, $$\beex \bea f^p(x_p)&=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\cdot 1\rd t

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $$\bex \lim_{x\to 0}\cfrac{f(x)}{x^2}\mbox{ 存在,}\quad \int_0^1 f(x)\rd x=f(1). \eex$$ 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f''(\xi)+2\xi f'(\xi)=0$.      证明: 由 $\dps{\lim_{x\to 0}\cfrac{f(x)}{x^2}}$ 存在知 $f(0)=0$, 而 $$\be