1. 概念
(1) 单值函数、多值函数 $w=f(z)$
a. 例: $w=|z|,\bar z, z^2, \cfrac{z+1}{z-1}\ (z\neq 1), \sqrt[n]{z}\ (z\neq 0,\ n\geq 2),\ \Arg z\ (z\neq 0).$
b. 不特别声明, 以后均指单值函数.
c. 函数的表示: $$\beex \bea &\quad w=f(z),\ w=u+iv,\ z=x+iy=re^{i\tt}\\ &\ra w=u(x,y)+iv(x,y)\\ &\quad\ =P(r,\tt)+iQ(r,\tt). \eea \eeex$$
(2) 映射 (变换)、单射 (入变换)、满射 (满变换)、双射 (双方单值变换、一一变换)---反函数.
(3) 映射的几何性质
a. $w=z^2$ 将 $$\beex \bea &\sed{z;\ |z|=2,\ 0\leq\Arg z\leq\cfrac{\pi}{2}},\\ &\sed{z;\ \Arg z=\cfrac{\pi}{3}\mbox{ 或 }\cfrac{4\pi}{3}},\\ &\sed{z=x+iy;\ x^2-y^2=4},\\ &\sed{z=x+iy;\ 2xy=1} \eea \eeex$$ 映成什么图形?
b. $w=\cfrac{1}{z}$ 将 $$\beex \bea &\sed{z=x+iy;\ x=y},\\ &\sed{z;\ (x-1)^2+y^2=1} \eea \eeex$$ 映成什么图形?
2. 极限与连续性
(1) $$\bex \lim_{z\to z_0}f(z)=w_0\lra \forall\ \ve>0,\ \exists\ \rho>0,\ \st\mbox{ 对 }z=N_\rho(z_0)\bs \sed{z_0}\mbox{ 有 }f(z)\in N_\ve(w_0). \eex$$
(2) 性质: 唯一性、四则运算
(3) 与实函数的区别: 实 (左右趋于)、复 (四面八方趋于).
(4) 与实函数的联系: $$\beex \bea &f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy;\quad \eta=a+ib,\quad z_0=x_0+iy_0,\\ &\lim_{z\to z_0}f(z)=\eta\lra \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}u(x,y)=a,\quad \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}v(x,y)=b. \eea \eeex$$
(5) $f$ 在 $z_0$ 处连续; $f$ 在 $E$ 上连续.
(6) 性质: 四则运算、复合运算、局部有界性、保号性.
(7) $$\beex \bea &f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy;\\ &f(z)\mbox{ 在 }z_0=x_0+iy_0\mbox{ 处连续}\lra u(x,y),v(x,y)\mbox{ 在 }(x_0,y_0)\mbox{ 处连续}. \eea \eeex$$
(8) 例: 设 $f(z)=\cfrac{1}{2i}\sex{\cfrac{z}{\bar z}-\cfrac{\bar z}{z}}, z\neq 0$ 在原点处极限是否存在?
(9) 常用基本定理: Bolzano-Weierstrass、闭区间套、Heine-Borel、有界闭集上连续函数的性质 (有界、最大-最小值、一致连续).
作业: P 42 T 11 (1) (3) .