前言
本文作者在更别致的词向量模型：Simpler GloVe - Part 1一文中提出了一个新的类似 GloVe 的词向量模型 — Simpler GloVe。
本期我们将带来该系列的后半部分，包括对该词向量模型的详细求解、结果展示，以及代码和语料分享。
模型的求解
损失函数
现在，我们来定义 loss，以便把各个词向量求解出来。用 P̃ 表示 P 的频率估计值，那么我们可以直接以下式为 loss：
相比之下，无论在参数量还是模型形式上，这个做法都比 GloVe 要简单，因此称之为 Simpler GloVe。GloVe模型是：
在 GloVe 模型中，对中心词向量和上下文向量做了区分，然后最后模型建议输出的是两套词向量的求和，据说这效果会更好，这是一个比较勉强的 trick，但也不是什么毛病。最大的问题是参数 bi,b̂j 也是可训练的，这使得模型是严重不适定的。我们有：
这就是说，如果你有了一组解，那么你将所有词向量加上任意一个常数向量后，它还是一组解。这个问题就严重了，我们无法预估得到的是哪组解，一旦加上的是一个非常大的常向量，那么各种度量都没意义了（比如任意两个词的 cos 值都接近1）。
事实上，对 GloVe 生成的词向量进行验算就可以发现，GloVe 生成的词向量，停用词的模长远大于一般词的模长，也就是说一堆词放在一起时，停用词的作用还明显些，这显然是不利用后续模型的优化的。（虽然从目前的关于 GloVe 的实验结果来看，是我强迫症了一些。）
互信息估算
为了求解模型，首先要解决的第一个问题就是 P(wi,wj),P(wi),P(wj) 该怎么算呢？
P(wi),P(wj) 简单，直接统计估计就行了，但 P(wi,wj) 呢？怎样的两个词才算是共现了？
当然，事实上不同的用途可以有不同的方案，比如我们可以认为同出现在一篇文章的两个词就是碰过一次面了，这种方案通常会对主题分类很有帮助，不过这种方案计算量太大。更常用的方案是选定一个固定的整数，记为 window，每个词前后的 window 个词，都认为是跟这个词碰过面的。
一个值得留意的细节是：中心词与自身的共现要不要算进去？窗口的定义应该是跟中心词距离不超过 window 的词，那么应该要把它算上的，但如果算上，那没什么预测意义，因为这一项总是存在，如果不算上，那么会降低了词与自身的互信息。
所以我们采用了一个小 trick：不算入相同的共现项，让模型自己把这个学出来。也就是说，哪怕上下文（除中心词外）也出现了中心词，也不算进 loss中，因为数据量本身是远远大于参数量的，所以这一项总可以学习出来。
权重和降采样
GloVe 模型定义了如下的权重公式：：
其中 Xij 代表词对 (wi,wj) 的共现频数，Xmax,α 是固定的常数，通常取 Xmax=100,α=3/4，也就是说，要对共现频数低的词对降权，它们更有可能是噪音，所以最后 GloVe 的 loss 是：
在本文的模型中，继续沿用这一权重，但有所选择。首先，对频数作 α 次幂，相当于提高了低频项的权重，这跟 word2vec 的做法基本一致。值得思考的是 min 这个截断操作，如果进行这个截断，那么相当于大大降低了高频词的权重，有点像 word2vec 中的对高频词进行降采样，能够提升低频词的学习效果。
但可能带来的后果是：高频词的模长没学好。我们可以在《模长的含义》这一小节中看到这一点。总的来说，不同的场景有不同的需求，因此我们在最后发布的源码中，允许用户自定义是否截断这个权重。
Adagrad
跟 GloVe 一样，我们同样使用 Adagrad 算法进行优化，使用 Adagrad 的原因是因为它大概是目前最简单的自适应学习率的算法。
但是，我发现 GloVe 源码中的 Adagrad 算法写法是错的。我不知道 GloVe 那样写是刻意的改进，还是笔误（感觉也不大可能笔误吧？）。
总之，如果我毫不改动它的迭代过程，照搬到本文的 Simpler GloVe 模型中，很容易就出现各种无解的 nan，如果写成标准的 Adagrad，nan 就不会出现了。
选定一个词对 wi,wj 我们得到 loss：
它的梯度是：
然后根据 Adagrad 算法的公式进行更新即可，默认的初始学习率选为 η=0.1，迭代公式为：
根据公式可以看出，Adagrad 算法基本上是对 loss 的缩放不敏感的，换句话说，将 loss 乘上 10 倍，最终的优化效果基本没什么变化，但如果在随机梯度下降中，将 loss 乘上 10 倍，就等价于将学习率乘以 10 了。
有趣的结果
最后，我们来看一下词向量模型（15）会有什么性质，或者说，如此煞费苦心去构造一个新的词向量模型，会得到什么回报呢？
模长的含义
似乎所有的词向量模型中，都很少会关心词向量的模长。有趣的是，我们上述词向量模型得到的词向量，其模长还能在一定程度上代表着词的重要程度。我们可以从两个角度理解这个事实。
在一个窗口内的上下文，中心词重复出现概率其实是不大的，是一个比较随机的事件，因此可以粗略地认为：
所以根据我们的模型，就有：
所以：
可见，词语越高频（越有可能就是停用词、虚词等），对应的词向量模长就越小，这就表明了这种词向量的模长确实可以代表词的重要性。事实上，−logP(w) 这个量类似 IDF，有个专门的名称叫 ICF，请参考论文《TF-ICF: A New Term Weighting Scheme for Clustering Dynamic Data Streams》。
然后我们也可以从另一个角度来理解它，先把每个向量分解成模长和方向：
其中 |v| 模长是一个独立参数，方向向量 v/‖v‖ 是 n−1 个独立参数，n 是词向量维度。由于参数量差别较大，因此在求解词向量的时候，如果通过调整模长就能达到的，模型自然会选择调整模长而不是拼死拼活调整方向。因此，我们有：
对于像“的”、“了”这些几乎没有意义的词语，词向量会往哪个方向发展呢？前面已经说了，它们的出现频率很高，但本身几乎没有跟谁是固定搭配的，基本上就是自己周围逛，所以可以认为对于任意词 wi，都有
为了达到这个目的，最便捷的方法自然就是 ‖v的‖≈0 了，调整一个参数就可以达到，模型肯定乐意。也就是说对于频数高但是互信息整体都小的词语（这部分词语通常没有特别的意义），模长会自动接近于 0，所以我们说词向量的模长能在一定程度上代表词的重要程度。
在用本文的模型和百度百科语料训练的一份词向量中，不截断权重，把词向量按照模长升序排列，前 50 个的结果是：
可见这些词确实是我们称为“停用词”或者“虚词”的词语，这就验证了模长确实能代表词本身的重要程度。这个结果与是否截断权重有一定关系，因为截断权重的话，得到的排序是：
两个表的明显区别是，在第二个表中，虽然也差不多是停用词，但是一些更明显的停用词，如“的”、“是”等反而不在前面，这是因为它们的词频相当大，因此截断造成的影响也更大，因此存在拟合不充分的可能性（简单来说，更关注了低频词，对于高频词只是“言之有理即可”。）。
那为什么句号和逗号也很高频，它们又上榜了？因为一句话的一个窗口中，出现两次句号“。”的概率远小于出现两次“的”的概率，因此句号“。”的使用更加符合我们上述推导的假设，而相应地，由于一个窗口也可能出现多次“的”，因此“的”与自身的互信息应该更大，所以模长也会偏大。
词类比实验
既然我们号称词类比性质就是本模型的定义，那么该模型是否真的在词类比中表现良好？我们来看一些例子。
这里还想说明一点，词类比实验，有些看起来很漂亮，有些看起来不靠谱，但事实上，词向量反映的是语料的统计规律，是客观的。而恰恰相反，人类所定义的一些关系，反而才是不客观的。
对于词向量模型来说，词相近就意味着它们具有相似的上下文分布，而不是我们人为去定义它相似。所以效果好不好，就看“相似的上下文分布 ⇆ 词相近”这一观点（跟语料有关），跟人类对相近的定义（跟语料无关，人的主观想法）有多大差别。当发现实验效果不好时，不妨就往这个点想想。
相关词排序
留意式（15），也就是两个词的互信息等于它们词向量的内积。互信息越大，表明两个词成对出现的几率越大，互信息越小，表明两个词几乎不会在一起使用。因此，可以用内积排序来找给定词的相关词。
当然，内积是把模长也算进去了，而刚才我们说了模长代表的是词的重要程度，如果我们不管重要程度，而是纯粹地考虑词义，那么我们会把向量的范数归一后再求内积，这样的方案更加稳定：
根据概率论的知识，我们知道如果互信息为 0，也就是两个词的联合概率刚好就是它们随机组合的概率，这表明它们是无关的两个词。对应到式（15），也就是两个词的内积为 0。
而根据词向量的知识，两个向量的内积为 0，表明两个向量是相互垂直的，而我们通常说两个向量垂直，表明它们就是无关的。所以很巧妙，两个词统计上的无关，正好对应着几何上的无关。这是模型形式上的美妙之一。
需要指出的是，前面已经提到，停用词会倾向于缩小模长而非调整方向，所以它的方向就没有什么意义了，我们可以认为停用词的方向是随机的。这时候我们通过余弦值来查找相关词时，就有可能出现让我们意外的停用词了。
重新定义相似
注意上面我们说的是相关词排序，相关词跟相似词不是一回事。比如“单身”、“冻成”都跟“狗”很相关，但是它们并不是近义词；“科学”和“发展观”也很相关，但它们也不是近义词。
那么如何找近义词？事实上这个问题是本末倒置的，因为相似的定义是人为的，比如“喜欢”和“喜爱”相似，那“喜欢”和“讨厌”呢？如果在一般的主题分类任务中它们应当是相似的，但是在情感分类任务中它们是相反的。再比如“跑”和“抓”，一般情况下我们认为它们不相似，但如果在词性分类中它们是相似的，因为它们具有相同的词性。
回归到我们做词向量模型的假设，就是词的上下文分布来揭示词义。所以说，两个相近的词语应该具有相近的上下文分布，前面我们讨论的“机场-飞机+火车=火车站”也是基于同样原理，但那里要求了上下文单词一一严格对应，而这里只需要近似对应，条件有所放宽，而且为了适应不同层次的相似需求，这里的上下文也可以由我们自行选择。
具体来讲，对于给定的两个词 wi,wj 以及对应的词向量 vi,vj，我们要算它们的相似度，首先我们写出它们与预先指定的 N 个词的互信息，即：
和：
这里的 N 是词表中词的总数。如果这两个词是相似的，那么它们的上下文分布应该也相似，所以上述两个序列应该具有线性相关性，所以我们不妨比较它们的皮尔逊积矩相关系数：
其中是 ⟨vi,vk⟩ 的均值，即：
所以相关系数公式可以简化为：
用矩阵的写法（假设这里的向量都是行向量），我们有：
方括号这一块又是什么操作呢？事实上它就是：
也就是将词向量减去均值后排成一个矩阵 V，然后算 V⊤V，这是一个 n×n 的实对称矩阵，n 是词向量维度，它可以分解（Cholesky分解）为：
其中 U 是 n×n 的实矩阵，所以相关系数的公式可以写为：
我们发现，相似度还是用向量的余弦值来衡量，只不过要经过矩阵 U 的变换之后再求余弦值。
最后，该怎么选择这 N 个词呢？我们可以按照词频降序排列，然后选择前 N 个。
如果 N 选择比较大（比如 N=10000），那么得到的是一般场景下语义上的相关词，也就是跟前一节的结果差不多；如果 N 选择比较小，如 N=500，那么得到的是语法上的相似词，比如这时候“爬”跟“掏”、“捡”、“摸”都比较接近。
关键词提取
所谓关键词，就是能概括句子意思的词语，也就是说只看关键词也大概能猜出句子的整体内容。假设句子具有 k 个词 w1,w2,…,wk，那么关键词应该要使得：
最大，说白了，就是用词来猜句子的概率最大，而因为句子是预先给定的，因此 P(w1,w2,…,wk) 是常数，所以最大化上式左边等价于最大化右边。继续使用朴素假设：
代入我们的词向量模型，就得到：
所以最后等价于最大化：
现在问题就简单了，进来一个句子，把所有词的词向量求和得到句向量，然后句向量跟句子中的每一个词向量做一下内积（也可以考虑算 cos 得到归一化的结果），降序排列即可。简单粗暴，而且将原来应该是