欧拉回路

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法  

　　有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

　　无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

　　定理：无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有0个或者是两个奇数度得结点。  

　　推论：无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。

判断欧拉回路是否存在的方法  

　　有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

　　无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

　　定理：有向图G具有 单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。  

　　定理：有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。

  程序实现一般是如下过程：

  1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。

  2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。

  3.利用dfs输出路径。

　　找欧拉回路：根据DFS（边）的性质，回溯是记录，可以求出欧拉回路。有向图与无向图的区别就是在DFS时，要标记的边，有向图标记一条就足以，而无向图需要将两条都标记。找欧拉通路原理与回路相同，代码也相同。

 1 #include<iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include<queue>
 4 using namespace std;
 5
 6 int first[100];
 7 int next[100];
 8 int v[100];
 9 int d[100];
10 int vis[100];
11 int times;
12 int n,m;
13
14 void dfs(int start)
15 {
16     int i,j,k;
17     for(k=first[start]; k!=-1; k=next[k])
18     {
19         if(vis[k]==0)
20         {
21             vis[k]=1;
22             dfs(v[k]);
23             int temp1=k%m;
24             if(k%m==0)
25                 temp1=m;
26             d[times++]=temp1;
27         }
28     }
29 }
30 int main()
31 {
32     int i,j,k;
33     while(cin>>n>>m)
34     {
35         memset(first,-1,sizeof(first));
36         memset(next,-1,sizeof(next));
37         memset(vis,0,sizeof(vis));
38         times=1;
39         d[0]=-1;
40         int temp1,temp2,temp3;
41         for(i=1; i<=m; i++)
42         {
43             cin>>temp1>>temp2;
44             if(first[temp1]==-1)
45             {
46                 first[temp1]=i;
47             }
48             else
49             {
50                 temp3=first[temp1];
51                 first[temp1]=i;
52                 next[i]=temp3;
53             }
54             v[i]=temp2;
55         }
56         dfs(1);
57         for(i=1; i<times; i++)
58             cout<<d[i]<<" ";
59         cout<<endl;
60     }
61     return 0;
62 }
63