[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)

$$\bex \sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{y^2+y+1} +\sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}\geq 2(x+y). \eex$$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].

时间: 2024-09-22 08:37:34

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(from D.Y. Peng) 设 $f$ 为区间 $I$ 上的可微函数, 满足微分方程 $$\bex f'(x)=g(f(x)),\quad x\in I, \eex$$ 其中 $g$ 是在 $f$ 的值域上有定义的连续函数. 证明: $f$ 一定是单调函数. 

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Hilbert 零点定理: 设 $\bbF$ 是一个代数闭域, $L$ 是 $\bbF[x_1,\cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$\bex \exists\ (a_1,\cdots,a_n)\in\bbF^n\ra f(a_1,\cdots,a_n)=0,\quad\forall\ f\in L. \eex$$

[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 幂等矩阵的一个充分条件)

若 $A\in \bbR^{m\times n}$ 列满秩, 则 $A(A^TA)^{-1}A^T$ 是幂等矩阵, 其特征值为 $1$ 或 $0$, 且存在正交阵 $Q$, 使得 $$\bex Q^T[A(A^TA)^{-1}A^T]Q=\sex{E_n\atop 0}. \eex$$

再寄小读者之数学篇

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