之前一直在讨论的线性分类器,器如其名，只能对线性可分的样本做处理。如果提供的样本线性不可分，结果很简单，线性分类器的求解程序会无限循环，永远也解不出来。这必然使得它的适用范围大大缩小，而它的很多优点我们实在不原意放弃，怎么办呢？是否有某种方法，让线性不可分的数据变得线性可分呢？
有！其思想说来也简单，来用一个二维平面中的分类问题作例子，你一看就会明白。事先声明，下面这个例子是网络早就有的，我一时找不到原作者的正确信息，在此借用，并加进了我自己的解说而已。
例子是下面这张图：
我们把横轴上端点a和b之间红色部分里的所有点定为正类，两边的黑色部分里的点定为负类。试问能找到一个线性函数把两类正确分开么？不能，因为二维空间里的线性函数就是指直线，显然找不到符合条件的直线。
但我们可以找到一条曲线，例如下面这一条：
显然通过点在这条曲线的上方还是下方就可以判断点所属的类别（你在横轴上随便找一点，算算这一点的函数值，会发现负类的点函数值一定比0大，而正类的一定比0小）。这条曲线就是我们熟知的二次曲线，它的函数表达式可以写为：
问题只是它不是一个线性函数，但是，下面要注意看了，新建一个向量y和a：
这样g(x)就可以转化为f(y)=<a,y>，你可以把y和a分别回带一下，看看等不等于原来的g(x)。用内积的形式写你可能看不太清楚，实际上f(y)的形式就是：
g(x)=f(y)=ay
在任意维度的空间中，这种形式的函数都是一个线性函数（只不过其中的a和y都是多维向量罢了），因为自变量y的次数不大于1。
看出妙在哪了么？原来在二维空间中一个线性不可分的问题，映射到四维空间后，变成了线性可分的！因此这也形成了我们最初想解决线性不可分问题的基本思路——向高维空间转化，使其变得线性可分。
而转化最关键的部分就在于找到x到y的映射方法。遗憾的是，如何找到这个映射，没有系统性的方法（也就是说，纯靠猜和凑）。具体到我们的文本分类问题，文本被表示为上千维的向量，即使维数已经如此之高，也常常是线性不可分的，还要向更高的空间转化。其中的难度可想而知。
小Tips:为什么说f(y)=ay是四维空间里的函数?
大家可能一时没看明白。回想一下我们二维空间里的函数定义
g(x)=ax+b
变量x是一维的，为什么说它是二维空间里的函数呢？因为还有一个变量我们没写出来，它的完整形式其实是
y=g(x)=ax+b
即
y=ax+b
看看，有几个变量？两个。那是几维空间的函数？（作者五岁的弟弟答：五维的。作者：……）
再看看
f(y)=ay
里面的y是三维的变量，那f(y)是几维空间里的函数？（作者五岁的弟弟答：还是五维的。作者：……）
用一个具体文本分类的例子来看看这种向高维空间映射从而分类的方法如何运作，想象一下，我们文本分类问题的原始空间是1000维的（即每个要被分类的文档被表示为一个1000维的向量），在这个维度上问题是线性不可分的。现在我们有一个2000维空间里的线性函数
f(x’)=<w’,x’>+b
注意向量的右上角有个 ’哦。它能够将原问题变得可分。式中的 w’和x’都是2000维的向量，只不过w’是定值，而x’是变量（好吧,严格说来这个函数是2001维的,哈哈），现在我们的输入呢，是一个1000维的向量x，分类的过程是先把x变换为2000维的向量x’，然后求这个变换后的向量x’与向量w’的内积，再把这个内积的值和b相加，就得到了结果，看结果大于阈值还是小于阈值就得到了分类结果。
你发现了什么？我们其实只关心那个高维空间里内积的值，那个值算出来了，分类结果就算出来了。而从理论上说， x’是经由x变换来的，因此广义上可以把它叫做x的函数（有一个x，就确定了一个x’，对吧，确定不出第二个），而w’是常量，它是一个低维空间里的常量w经过变换得到的，所以给了一个w 和x的值，就有一个确定的f(x’)值与其对应。这让我们幻想，是否能有这样一种函数K(w,x),他接受低维空间的输入值，却能算出高维空间的内积值<w’,x’>？
如果有这样的函数，那么当给了一个低维空间的输入x以后，
g(x)=K(w,x)+b
f(x’)=<w’,x’>+b
这两个函数的计算结果就完全一样，我们也就用不着费力找那个映射关系，直接拿低维的输入往g(x)里面代就可以了（再次提醒，这回的g(x)就不是线性函数啦，因为你不能保证K(w,x)这个表达式里的x次数不高于1哦）。
万幸的是，这样的K(w,x)确实存在（发现凡是我们人类能解决的问题，大都是巧得不能再巧，特殊得不能再特殊的问题，总是恰好有些能投机取巧的地方才能解决，由此感到人类的渺小），它被称作核函数（核，kernel），而且还不止一个，事实上，只要是满足了Mercer条件的函数，都可以作为核函数。核函数的基本作用就是接受两个低维空间里的向量，能够计算出经过某个变换后在高维空间里的向量内积值。几个比较常用的核函数，俄，教课书里都列过，我就不敲了（懒！）。
回想我们上节说的求一个线性分类器，它的形式应该是：
现在这个就是高维空间里的线性函数（为了区别低维和高维空间里的函数和向量，我改了函数的名字，并且给w和x都加上了 ’），我们就可以用一个低维空间里的函数（再一次的，这个低维空间里的函数就不再是线性的啦）来代替，
又发现什么了？f(x’) 和g(x)里的α，y，b全都是一样一样的！这就是说，尽管给的问题是线性不可分的，但是我们就硬当它是线性问题来求解，只不过求解过程中，凡是要求内积的时候就用你选定的核函数来算。这样求出来的α再和你选定的核函数一组合，就得到分类器啦！
明白了以上这些，会自然的问接下来两个问题：
1． 既然有很多的核函数，针对具体问题该怎么选择？
2． 如果使用核函数向高维空间映射后，问题仍然是线性不可分的，那怎么办？
第一个问题现在就可以回答你：对核函数的选择，现在还缺乏指导原则！各种实验的观察结果（不光是文本分类）的确表明，某些问题用某些核函数效果很好，用另一些就很差，但是一般来讲，径向基核函数是不会出太大偏差的一种，首选。（我做文本分类系统的时候，使用径向基核函数，没有参数调优的情况下，绝大部分类别的准确和召回都在85%以上，可见。虽然libSVM的作者林智仁认为文本分类用线性核函数效果更佳，待考证）
现在我们已经把一个本来线性不可分的文本分类问题，通过映射到高维空间而变成了线性可分的。就像下图这样：
圆形和方形的点各有成千上万个（毕竟，这就是我们训练集中文档的数量嘛，当然很大了）。现在想象我们有另一个训练集，只比原先这个训练集多了一篇文章，映射到高维空间以后（当然，也使用了相同的核函数），也就多了一个样本点，但是这个样本的位置是这样的：
就是图中黄色那个点，它是方形的，因而它是负类的一个样本，这单独的一个样本，使得原本线性可分的问题变成了线性不可分的。这样类似的问题（仅有少数点线性不可分）叫做“近似线性可分”的问题。
以我们人类的常识来判断，说有一万个点都符合某种规律（因而线性可分），有一个点不符合，那这一个点是否就代表了分类规则中我们没有考虑到的方面呢（因而规则应该为它而做出修改）？
其实我们会觉得，更有可能的是，这个样本点压根就是错误，是噪声，是提供训练集的同学人工分类时一打瞌睡错放进去的。所以我们会简单的忽略这个样本点，仍然使用原来的分类器，其效果丝毫不受影响。
但这种对噪声的容错性是人的思维带来的，我们的程序可没有。由于我们原本的优化问题的表达式中，确实要考虑所有的样本点（不能忽略某一个，因为程序它怎么知道该忽略哪一个呢？），在此基础上寻找正负类之间的最大几何间隔，而几何间隔本身代表的是距离，是非负的，像上面这种有噪声的情况会使得整个问题无解。这种解法其实也叫做“硬间隔”分类法，因为他硬性的要求所有样本点都满足和分类平面间的距离必须大于某个值。
因此由上面的例子中也可以看出，硬间隔的分类法其结果容易受少数点的控制，这是很危险的（尽管有句话说真理总是掌握在少数人手中，但那不过是那一小撮人聊以自慰的词句罢了，咱还是得民主）。
但解决方法也很明显，就是仿照人的思路，允许一些点到分类平面的距离不满足原先的要求。由于不同的训练集各点的间距尺度不太一样，因此用间隔（而不是几何间隔）来衡量有利于我们表达形式的简洁。我们原先对样本点的要求是：
意思是说离分类面最近的样本点函数间隔也要比1大。如果要引入容错性，就给1这个硬性的阈值加一个松弛变量，即允许
因为松弛变量是非负的，因此最终的结果是要求间隔可以比1小。但是当某些点出现这种间隔比1小的情况时（这些点也叫离群点），意味着我们放弃了对这些点的精确分类，而这对我们的分类器来说是种损失。但是放弃这些点也带来了好处，那就是使分类面不必向这些点的方向移动，因而可以得到更大的几何间隔（在低维空间看来，分类边界也更平滑）。显然我们必须权衡这种损失和好处。好处很明显，我们得到的分类间隔越大，好处就越多。回顾我们原始的硬间隔分类对应的优化问题：
||w||2就是我们的目标函数（当然系数可有可无），希望它越小越好，因而损失就必然是一个能使之变大的量（能使它变小就不叫损失了，我们本来就希望目标函数值越小越好）。那如何来衡量损失，有两种常用的方式，有人喜欢用
而有人喜欢用
其中l都是样本的数目。两种方法没有大的区别。如果选择了第一种，得到的方法的就叫做二阶软间隔分类器，第二种就叫做一阶软间隔分类器。把损失加入到目标函数里的时候，就需要一个惩罚因子（cost，也就是libSVM的诸多参数中的C），原来的优化问题就变成了下面这样：
这个式子有这么几点要注意：
一是并非所有的样本点都有一个松弛变量与其对应。实际上只有“离群点”才有，或者也可以这么看，所有没离群的点松弛变量都等于0（对负类来说，离群点就是在前面图中，跑到H2右侧的那些负样本点，对正类来说，就是跑到H1左侧的那些正样本点）。
二是松弛变量的值实际上标示出了对应的点到底离群有多远，值越大，点就越远。
三是惩罚因子C决定了你有多重视离群点带来的损失，显然当所有离群点的松弛变量的和一定时，你定的C越大，对目标函数的损失也越大，此时就暗示着你非常不愿意放弃这些离群点，最极端的情况是你把C定为无限大，这样只要稍有一个点离群，目标函数的值马上变成无限大，马上让问题变成无解，这就退化成了硬间隔问题。
四是惩罚因子C不是一个变量，整个优化问题在解的时候，C是一个你必须事先指定的值，指定这个值以后，解一下，得到一个分类器，然后用测试数据看看结果怎么样，如果不够好，换一个C的值，再解一次优化问题，得到另一个分类器，再看看效果，如此就是一个参数寻优的过程，但这和优化问题本身决不是一回事，优化问题在解的过程中，C一直是定值，要记住。
五是尽管加了松弛变量这么一说，但这个优化问题仍然是一个优化问题（汗，这不废话么），解它的过程比起原始的硬间隔问题来说，没有任何更加特殊的地方。
从大的方面说优化问题解的过程，就是先试着确定一下w，也就是确定了前面图中的三条直线，这时看看间隔有多大，又有多少点离群，把目标函数的值算一算，再换一组三条直线（你可以看到，分类的直线位置如果移动了，有些原来离群的点会变得不再离群，而有的本来不离群的点会变成离群点），再把目标函数的值算一算，如此往复（迭代），直到最终找到目标函数最小时的w。
啰嗦了这么多，读者一定可以马上自己总结出来，松弛变量也就是个解决线性不可分问题的方法罢了，但是回想一下，核函数的引入不也是为了解决线性不可分的问题么？为什么要为了一个问题使用两种方法呢？
其实两者还有微妙的不同。一般的过程应该是这样，还以文本分类为例。在原始的低维空间中，样本相当的不可分，无论你怎么找分类平面，总会有大量的离群点，此时用核函数向高维空间映射一下，虽然结果仍然是不可分的，但比原始空间里的要更加接近线性可分的状态（就是达到了近似线性可分的状态），此时再用松弛变量处理那些少数“冥顽不化”的离群点，就简单有效得多啦。
本节中的（式1）也确实是支持向量机最最常用的形式。至此一个比较完整的支持向量机框架就有了，简单说来，支持向量机就是使用了核函数的软间隔线性分类法。
接下来要说的东西其实不是松弛变量本身，但由于是为了使用松弛变量才引入的，因此放在这里也算合适，那就是惩罚因子C。回头看一眼引入了松弛变量以后的优化问题：
注意其中C的位置，也可以回想一下C所起的作用（表征你有多么重视离群点，C越大越重视，越不想丢掉它们）。这个式子是以前做SVM的人写的，大家也就这么用，但没有任何规定说必须对所有的松弛变量都使用同一个惩罚因子，我们完全可以给每一个离群点都使用不同的C，这时就意味着你对每个样本的重视程度都不一样，有些样本丢了也就丢了，错了也就错了，这些就给一个比较小的C；而有些样本很重要，决不能分类错误（比如中央下达的文件啥的，笑），就给一个很大的C。
当然实际使用的时候并没有这么极端，但一种很常用的变形可以用来解决分类问题中样本的“偏斜”问题。
先来说说样本的偏斜问题，也叫数据集偏斜（unbalanced），它指的是参与分类的两个类别（也可以指多个类别）样本数量差异很大。比如说正类有10，000个样本，而负类只给了100个，这会引起的问题显而易见，可以看看下面的图：
方形的点是负类。H，H1，H2是根据给的样本算出来的分类面，由于负类的样本很少很少，所以有一些本来是负类的样本点没有提供，比如图中两个灰色的方形点，如果这两个点有提供的话，那算出来的分类面应该是H’，H2’和H1，他们显然和之前的结果有出入，实际上负类给的样本点越多，就越容易出现在灰色点附近的点，我们算出的结果也就越接近于真实的分类面。但现在由于偏斜的现象存在，使得数量多的正类可以把分类面向负类的方向“推”，因而影响了结果的准确性。
对付数据集偏斜问题的方法之一就是在惩罚因子上作文章，想必大家也猜到了，那就是给样本数量少的负类更大的惩罚因子，表示我们重视这部分样本（本来数量就少，再抛弃一些，那人家负类还活不活了），因此我们的目标函数中因松弛变量而损失的部分就变成了：
其中i=1…p都是正样本，j=p+1…p+q都是负样本。libSVM这个算法包在解决偏斜问题的时候用的就是这种方法。
那C+和C-怎么确定呢？它们的大小是试出来的（参数调优），但是他们的比例可以有些方法来确定。咱们先假定说C+是5这么大，那确定C-的一个很直观的方法就是使用两类样本数的比来算，对应到刚才举的例子，C-就可以定为500这么大（因为10，000：100=100：1嘛）。
但是这样并不够好，回看刚才的图，你会发现正类之所以可以“欺负”负类，其实并不是因为负类样本少，真实的原因是负类的样本分布的不够广（没扩充到负类本应该有的区域）。说一个具体点的例子，现在想给政治类和体育类的文章做分类，政治类文章很多，而体育类只提供了几篇关于篮球的文章，这时分类会明显偏向于政治类，如果要给体育类文章增加样本，但增加的样本仍然全都是关于篮球的（也就是说，没有足球，排球，赛车，游泳等等），那结果会怎样呢？虽然体育类文章在数量上可以达到与政治类一样多，但过于集中了，结果仍会偏向于政治类！所以给C+和C-确定比例更好的方法应该是衡量他们分布的程度。比如可以算算他们在空间中占据了多大的体积，例如给负类找一个超球——就是高维空间里的球啦——它可以包含所有负类的样本，再给正类找一个，比比两个球的半径，就可以大致确定分布的情况。显然半径大的分布就比较广，就给小一点的惩罚因子。
但是这样还不够好，因为有的类别样本确实很集中，这不是提供的样本数量多少的问题，这是类别本身的特征（就是某些话题涉及的面很窄，例如计算机类的文章就明显不如文化类的文章那么“天马行空”），这个时候即便超球的半径差异很大，也不应该赋予两个类别不同的惩罚因子。
看到这里读者一定疯了，因为说来说去，这岂不成了一个解决不了的问题？然而事实如此，完全的方法是没有的，根据需要，选择实现简单又合用的就好（例如libSVM就直接使用样本数量的比）。