1.7 Monty Hall难题
蒙蒂大厅（Monty Hall problem）难题可能是历史上最有争议的概率问题。问题看似简单，但正确答案如此有悖常理以致很多人不能接受，很多聪明人都难堪于自己搞错了反而据理力争，而且是公开的。
蒙蒂大厅是游戏节目“来做个交易”（Let’s Make a Deal）的主场。蒙蒂大厅难题也是这一节目的常规游戏之一。如果你参加节目，规则是这样的：
- 蒙蒂向你示意三个关闭的大门，然后告诉你每个门后都有一个奖品：一个奖品是一辆车，另外两个是像花生酱和假指甲这样不值钱的奖品。奖品随机配置。
- 游戏的目的是要猜哪个门后有车。如果你猜对了就可以拿走汽车。
- 你先挑选一扇门，我们姑且称之为门A，其他两个称为门B和门C。
- 在打开你选中的门前，为了增加悬念，蒙蒂会先打开B或C中一个没有车的门来增加悬念（如果汽车实际上就是在A门背后，那么蒙蒂打开门B或门C都是安全的，所以他可以随意选择一个）。
- 然后蒙蒂给你一个选择。坚持最初的选择还是换到剩下的未打开的门上。
问题是，你应该“坚持”还是“换”？有没有区别？
大多数人都有强烈的直觉，认为这没有区别。剩下两个门没有打开，车在门A背后的机会是50%。
但是，这是错的。事实上，如果你坚持选择门A，中奖概率只有1/3；而如果换到另外一个门，你的机会将是2/3。
运用贝叶斯定理，我们可以将这个问题分解成几个简单部分，也许这样可以说服自身，“正确”的答案实际上的的确确是对的。
首先，我们应该对数据进行仔细描述。在本例中为D包括两个部分：蒙蒂打开了门B，而且没有车在后面。
接下来，我们定义了三个假设：A，B和C，表示假设车在门A，门B，或门C后面。同样，采用表格法：
填写先验很容易，因为我们被告知奖品是随机配置的，这表明该车可能在任何门后面。
定义似然度需要一些思考，在充分合理的考虑后，我们确信正确的似然度如下：
- 考虑假设A：如果汽车实际上是在门A后，蒙蒂可以安全地打开门B或门C。所以他选择门B的概率为1/2。因为车实际上是在门A后，也就是说车不在门B后的概率是1。
- 考虑假设B：如果汽车实际上是在门B后，蒙蒂不得不打开门C，这样他打开门B的概率就是0（译注:也就是这个假设的似然度为0，不可能发生）。
- 最后考虑假设C：如果车是在门C后，蒙蒂打开门B的概率为1，发现车不在那儿的概率为1（译注：因为在选手已经选了A门这个情况下，可供蒙蒂增加悬念开门的选择只有B和C，而假设C有车，蒙蒂肯定不会选，因此蒙蒂会打开B门的概率为1，也就是在这个假设下，数据D的似然度为1）。
现在我们已经完成有难度的部分了，剩下无非就是算术。第三列的总和为1/2，除以后得到p(A|D) = 1/3，p(C|D) = 2/3，所以你最好是换个选择。
该问题有许多变形。贝叶斯方法的优势之一就是可以推广到这些变形问题的处理上。
例如，设想蒙蒂总是尽可能选择门B，且只有在迫不得已的时候才选门C（比如车在门B后）。在这种情况下，修正后的表如下：
唯一的变化是p(D|A)。如果车在门A后，蒙蒂可以选择打开B或C。但在这个变形问题里面，他总是选择B，因此p(D|A) = 1。
因此，对A和C，似然度是相同的，后验也是相同的：p(A|D) = p(C|D) = 1/2，在这种情况下，蒙特选择B 门显示不了车位置的任何信息，所以无论选手选择坚持不变还是改变都无关紧要。
反过来的情况下，如果蒙蒂打开门C，我们就知道p(B|D) = 1（译注：因为蒙蒂总是优先选择门B，而门D是他打开了门C，因此在假设车在门B后的前提下，他必然会打开门C，概率为1，即p(B|D)=1）。
本章中我介绍了蒙蒂问题，因为我觉得这里有它的趣味性，也因为贝叶斯定理使问题的复杂性更易控制。但这并不算是一个典型的贝叶斯定理应用，所以如果你觉得它令人困惑，没什么好担心的！