作业讲解: P 90-92 T 5 (3) , 8 (1) , 13 (1) , 20 (1) , 22, 23.
0. 一些规定
(1) 今后所指曲线均指光滑或逐段光滑的. 逐段光滑的简单闭曲线称为周线.
(2) 曲线的方向: 开口弧的情形只需指出始点、终点; 周线的情形, 参考 Jordan 曲线的情形.
1. 定义: 分割、求和、取极限. 设有向线段 $C:\ z=z(t),\ \al\leq t\leq \beta$ (起点 $z(\al)$, 终点 $z(\beta)$), $f$ 沿 $C$ 有定义, 若以下极限存在: $$\bex \int_C f(z)\rd z=\lim_{\max_{|\lap z_i|}\to 0}\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\lap z_k, \eex$$ 则称其为 $f$ 沿 $C$ 的积分.
(1) $f$: 被积函数; $f(z)\rd z$: 被积表达式.
(2) $\dps{\int_{C^-}f(z)\rd z=-\int_C f(z)\rd z}$.
(3) $f$ 沿 $C$ 可积 $\ra f$ 沿 $C$ 有界.
2. 计算
(1) 设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 沿 $C$ 连续, 则 $$\bex \int_C f(z)\rd z =\int_C [u(x,y)+iv(x,y)]\cdot [\rd x+i\rd y] =\int_C(u\rd x-v\rd y)+i(u\rd y+v\rd x). \eex$$
(2) 若再设 $C:\ z=z(t)=x(t)+iy(t)$, $\al\leq t\leq \beta$, 则 $$\beex \bea \int_C f(z)\rd z &=\int_\al^\beta f(z(t))\cdot z'(t)\rd t\\ &=\int_\al^\beta [(ux'-vy')+i(uy'+vx')]\rd t. \eea \eeex$$
(3) 例: 求 $\dps{\int_{|z-a|=\rho}\frac{\rd z}{(z-a)^n}\ (n\in\bbZ)}$.
解答: $$\beex \bea \int_{|z-a|=\rho}\frac{\rd z}{(z-a)^n} &=\int_0^{2\pi}\frac{i\rho e^{i\tt}\rd \tt}{\rho^n e^{in\tt}}\quad(z-a=\rho e^{i\tt})\\ &=\frac{i}{\rho^{n-1}}\int_0^{2\pi}e^{i(1-n)\tt}\rd \tt\\ &=\sedd{\ba{ll} 2\pi i,&n=1,\\ 0,&1\neq n\in\bbZ \ea}. \eea \eeex$$
3. 性质
(1) 线性性: $\dps{\int_C [af(z)+bg(z)]\rd z =a\int_C f(z)\rd z+b\int_C g(z)\rd z}$.
(2) 关于积分曲线的可加性: $\dps{C=C_1+C_2\ra \int_C f(z)\rd z =\int_{C_1}f(z)\rd z+\int_{C_2}f(z)\rd z}$.
(3) 反方向曲线上的积分: $\dps{\int_{C^-}f(z)\rd z=-\int_C f(z)\rd z}$.
(4) 积分估计: $$\bex \sev{\int_C f(z)\rd z} \leq \int_C |f(z)|\cdot |\rd z| =\int_C |f(z)|\cdot \rd s, \eex$$ 其中 $$\bex |\rd z|=\sqrt{(\rd x)^2+(\rd y)^2}=\rd s; \eex$$ 进一步地有: $$\bex |f(z)|\leq M,\ L=\ell(C)\ra \sev{\int_C f(z)\rd z}\leq M\cdot L. \eex$$
(5) 例: 计算 $\dps{I(C_i)=\int_{C_i}\Re z\rd z}$, 其中 $C_1: 0\to 1+i$, $C_2: 0\to 1\to 1+i$.
解答: $$\beex \bea I(C_1)&=\int_{C_1}\Re z\rd z\\ &=\int_0^1 t(1+i)\rd t\quad (z=(1+i)t,\ 0\leq t\leq 1)\\ &=\frac{1+i}{2},\\ I(C_2)&=\int_0^1 t\cdot\rd t+\int_0^1 1\cdot i\rd t\quad (z=t,\ 0\leq t\leq 1;\ z=1+ti,\ 0\leq t\leq 1)\\ &=\frac{1}{2}+i. \eea \eeex$$
(6) 例: 设 $C: i\to 2+i$, 证明: $\dps{\sev{\int_C \frac{\rd z}{z^2}}\leq 2}$. 证明: $$\bex z\in C\ra |z|\geq 1,\ \ell(C)=2\ra \sev{\int_C \frac{\rd z}{z^2}}\leq 1\cdot 2=2. \eex$$