RNN是什么
循环神经网络即recurrent neural network，它的提出主要是为了处理序列数据，序列数据是什么？就是前面的输入和后面的输入是有关联的，比如一句话，前后的词都是有关系的，“我肚子饿了，准备去xx”，根据前面的输入判断“xx”很大可能就是“吃饭”。这个就是序列数据。
循环神经网络有很多变种，比如LSTM、GRU等，这里搞清楚基础的循环神经网络的思想，对于理解其他变种就比较容易了。
与传统神经网络区别
下图是我们经典的全连接网络，从输入层到两个隐含层再到输出层，四层之间都是全连接的，而且层内之间的节点不相连。这种网络模型对于序列数据的预测就基本无能为力，比如某句话的下一个单词是什么就很难处理。
循环神经网络则擅长处理序列数据，它会对前面的信息进行记忆并且参与当前输出的计算，理论上循环神经网络能处理任意长度的序列数据。
RNN模型
RNN模型最抽象的画法就是下面这种了，但它不太好理解，因为它将时间维度挤压了。其中x是输入，U是输出层到隐含层的权重，s是隐含层值，W则是上个时刻隐含层作为这个时刻输入的权重，V是隐含层到输出层的权重，o是输出。
为方便理解，将上图展开，现在可以清楚看到输入x、隐层值s和输出o都有了下标t，这个t表示时刻，t-1是上一时刻，t+1则是下一时刻。不同时刻输入对应不同的输出，而且上一时刻的隐含层会影响当前时刻的输出。
那么反应到神经元是怎样的呢？如下图，这下就更清晰了，输入的3个神经元连接4个隐含层神经元，然后保留隐含层状态用于下一刻参与计算。
RNN的正向传播
还是使用这张图进行说明，设输出层的输入为nett，则很容易可以得到输出，
nett=Vst
ot=σ(nett)
其中σ是激活函数，再设隐含层的输入为ht
ht=Uxt+Wst−1
st=σ(ht)
可以继续往前一个时刻推，有
st=σ(Uxt+Wσ(Uxt−1+Wst−2))
而t-2时刻又可以用t-3时刻来表示，从这就可以看出循环神经网络具有记忆，可以往前看任意个输入。
RNN的训练
假设损失函数为
E
在t时刻，根据误差逆传播，有
∂Et∂nett=∂Et∂ot∂ot∂nett=E′(ot)σ′(nett)
首先，我们来看看对V的求导，每个时刻t的误差至于当前时刻的误差相关，则
∂Et∂V=∂Et∂nett∂nett∂V=∂Et∂nettst
其次，对W求导，对于一个训练样本，所有时刻的误差加起来才是这个样本的误差，某时刻t对W求偏导为，
∂Et∂W=∂Et∂nett∂nett∂st∂st∂W
其中st=σ(Uxt+Wσ(Uxt−1+Wst−2))一直依赖上个时刻，某个样本的总误差是需要所有时刻加起来，不断对某个时刻进行求偏导，误差一直反向传播到t为0时刻，则
∂E∂W=∑t∂Et∂W=∑tk=0∂Et∂nett∂nett∂st(∏tj=k+1∂st∂sk)∂sk∂W
其中∂st∂sk根据链式法则是会一直乘到k
时刻，k可以是0、1、2…，那么上式可以表示成，
∂E∂W=∑tk=0∂Et∂nett∂nett∂st∂st∂sk∂sk∂W
最后，对U求导，
∂E∂U=∂E∂ht∂ht∂U=∂E∂htxt
通过上面实现梯度下降训练。
梯度消失或梯度爆炸
对于tanh和sigmoid激活函数的RNN，我们说它不能很好的处理较长的序列，这个是为什么呢？简单说就是因为RNN很容易会存在梯度消失或梯度爆炸问题，发生这种情况时RNN就捕捉不了很早之前的序列的影响。
为什么会这样？接着往下看，tanh和sigmoid的梯度大致如下图所示，两端的梯度值都基本接近0了，而从上面的求导公式可以看到
∂E∂W=∑t∂Et∂W=∑tk=0∂Et∂nett∂nett∂st(∏tj=k+1∂st∂sk)∂sk∂W
其中有个连乘操作，而向量函数对向量求导结果为一个Jacobian矩阵，元素为每个点的导数，离当前时刻越远则会乘越多激活函数的导数，指数型，本来就接近0的梯度再经过指数就更加小，基本忽略不计了，于是便接收不到远距离的影响，这就是RNN处理不了较长序列的原因。
而当矩阵中的值太大时，经过指数放大，则会产生梯度爆炸。
梯度爆炸会导致程序NaN，可以设置一个梯度阈值来处理。
梯度消失则可以用ReLU来替代tanh和sigmoid激活函数，或者用LSTM或GRU结构。
RNN简单应用例子
比如可以做字符级别的预测，如下图，假如这里只有四种字符，样本为”hello”单词，则输入h预测下个字符为e，e接着则输出l，l则输出l，最后输入l则输出o。
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