0 初衷

很多介绍红黑树的文章如同算法导论书中那样，都是上来直接给出一些分类情况，以及每个分类情况下的处理办法，而没有着重讲述为什么这么分类，为什么这个分类下执行这些操作，即只介绍了how，没有重点给出why。本篇文章的重点就在于解释why。

这样可能就导致一种现象：我按照这些分类以及分类下的操作办法，的确完整的走通想通了整个算法过程，感觉应该理解红黑树了，但是可能过了几个月后就忘记如何分类的了，忘记分类下如何操作的了。

归根到底是我们没有找出最本质的东西，比如说插入节点时遇到父子是红红的问题，对应的2个直接的解决办法如下：

• 将父节点改成黑色
• 将一个红节点扔到另一个子树中

这2个解决办法就是直接解决当前父子红红问题的，然后就可以在这2个办法的基础上进行详细的开展，就会推出插入节点时的分类情况及其操作办法了。文章的后面会详细展开这部分的推理，下面还是先把基础的二叉搜索树介绍下。

1 二叉搜索树

1.1 定义

二叉搜索树中的每个节点含有如下属性，key、left、right、p，分别对应该节点的值、左孩子、右孩子和父节点。

并且满足如下性质：

设x是二叉搜索树的一个节点，如果y是x左子树中的一个节点，那么y.keyx.key。

如下所示：

1.2 基本操作

最大、最小值都很简单，这里不再赘述了。

1.2.1 前驱和后继

按照中序遍历的方式来给出指定节点的前驱和后继

• 后继

  如果该节点有右子树，则后继节点就是右子树的最小值
  如果没有右子树，则后继沿着该节点往上找到一个父节点，该父节点的左子树包含当前节点。

  如何来理解呢？

  中序遍历的顺序为：左根右。那么以当前节点作为根，查找它的后继：

  如果有右子树，则 为 (左子树)根（右子树） ，很明显紧跟根后面的就是右子树中的第一个元素，按照中序遍历的方式右子树中第一个元素就是右子树的最小值

  如果没有右子树，则为 (左子树)根，该部分中序遍历结束，那么这一部分可能是上层父节点的左子树部分或者右子树部分，如果是上层父节点的右子树部分，那么上一层父节点的根在该部分的前面，即为 根1（（左子树）根），此时同理，上层父节点的根也中序遍历完毕，开始上上层父节点的遍历，如果还是右子树，继续轮回，即为 根2 根1（（左子树）根），

  如果是左子树，那么下一个父节点则在该部分的右面，即，根2 根1（（左子树）根）根3。所以我们要找的节点的后继就是根3。

  最好在纸上进行划分下。该算法见算法导论中下图

  

• 前驱

  同理

1.3 查找

也挺简单的，如下：

1.4 插入

也比较简单，就是对比找到一个节点，直到遇到NIL节点，则该NIL节点的父节点就是要插入节点的父节点

然后再判断要插入的节点是比父节点大还是小，大的话作为右节点，小的话作为左节点。

见算法导论中下图：

1.5 删除

针对要删除节点（设为z节点）的孩子，分下面3种情况：

• 无孩子：直接删除当前节点即可，修改父节点，用NIL作为孩子替换z。
• 只有一个孩子：修改父节点，将该孩子替换z。
• 有2个孩子：找到z的后继（这里设置为y）来替换z。此时的后继y必然是z的右子树中的最小值。这就需要先将y从右子树中摘出来，即需要先将y的右子树替换y，摘出y后，再用y去替换z。让z的左子树作为y的左子树，z的新右子树（摘除y之后）作为y的右子树。

  总结下就是：y（一定没有左孩子）的右孩子替换y，y替换z的过程。

  此时有一个可以优化的地方就是：如果y是z的右孩子，那么z的新右子树就是y的右子树，那么此时就可以不用摘除了。

算法内容如下：

先定义一个节点替换的方法：

整体删除逻辑如下：

至此，基础的二叉搜索树就算铺垫完成了，下面就是重点的红黑树了。

2 红黑树

2.1 红黑树的5个性质

• 1 每个节点或是红色，或是黑色
• 2 根节点是黑色
• 3 每个叶节点（NIL）是黑色
• 4 如果一个节点是红色，则它的2个子节点都是黑色
• 5 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点

一颗红黑树示例如下：

可以得出的一些结论：

• 红黑树的任何一个节点的左右子树的高度最多是另一子树的2倍。

  由性质5和性质4可以得出，最短的路径都是黑色节点，最长的路径有交替的红色和黑色节点，所以一个子树最多是另一个子树高的的2倍，就是所谓的近似平衡。

2.2 旋转

可以参见下这里的一个动画浅谈算法和数据结构: 九 平衡查找树之红黑树

旋转的作用：

• 用来平衡左右子树的高度，而不违反二叉搜索树的性质，简单可以理解为**将一个节点扔到另一个子树中**

2.3 插入

2.3.1 普通插入

按照上述二叉搜索树的插入方式

2.3.2 插入后的修正

新插入的节点着色为红色，暂叫z节点，z的父节点叫z.p，它会违反红黑树的哪些性质？

• 违反性质2

  如果插入节点是根节点，则违反了性质2。此时只需要将z节点重新着为黑色即可。

• 违反性质4

  如果z.p是红色，那么就违反了性质4。下面就针对性质4来具体的分析怎么解决

目前要解决的问题是：z是红色，z.p也是红色

可以得到的一些结论：

• z.p.p必然是黑色

  因为在z插入之前是一颗红黑树，必然要满足性质4，所以z.p.p是黑色，z的叔父节点是不确定的，可红可黑。

• z的兄弟节点只能是叶节点（黑色的）

  z.p是红色的，则z的兄弟节点必须是黑色的，如果z的兄弟节点不是叶节点，则z的兄弟节点必然比z这一路多了一个黑色，不满足性质5，所以z的兄弟节点是黑色的叶节点。

解决问题的要领：

不能增加或者减少黑高，只能部分增加并且部分减少然后相互抵消

解决父子红红问题有2个思路：

• 1 把z.p变成黑色，z.p.p变成红色
• 2 把z和z.p中的一个红色节点扔到z.p.p的另一个子树中

再来详细分析下这2个思路：

• 1 把z.p由红色变成黑色，z.p.p由黑色变成红色

  z这一路增加一个黑色，减少一个黑色，黑高不变。但是z的叔父那一路就会因为z.p.p而少了一个黑色，所以如果z的叔父是红色，那么可以将z的叔父由红色变成黑色来抵消z.p.p的减少。

  所以这个就要求z的叔父节点是红色。

  但是这并没有完，我们将z.p.p由黑色变成红色，可能又会出现父子红红的情况，所以继续下一次的轮回

  初始为：

  

  转变成如下：

  

• 2 把z和z.p中的一个红色扔到z.p.p的另一个子树中

  这个扔的操作就是通过左旋或者右旋，目前假如是右旋，即将z.p提升为z.p.p的位置，将z.p.p拉下来作为z的叔父节点的一路。颜色上，z.p由红变成黑色，z.p.p由黑色变成红色（这就要求z的叔父必须是黑色，不然又出现红红）。此时z和z的叔父2路都没有增加或者减少黑色。同时z.p的右子树会作为z.p.p的左子树（右旋的结果），此时z.p.p是红色，则z.p的右子树必须是黑色，即z必须是z.p的左子树。

  一种情况z本来就是z.p的左孩子，另一种情况z是z.p的右孩子，那么可以通过左旋就可以实现，然后减交换z和z.p的位置。所以这里又分2种情况。分析完毕，下面看图形示意。

  初始为：

  

  这里需要将4或者5中的一个红色扔到6的另一个子树中，那么执行右旋后如下：

  

  这里其实就要求5节点必须是黑色，即在旋转前4节点的右孩子必须是黑色，那么z必须是4节点的左孩子。这里我们只需要执行下左旋，将可以将红色的子转变成红色的父的左孩子，此时再将z节点设置为红色的子即4节点即可，执行上述的操作了。

  

总上2点解决方案的分析，我们可以得出如下的3个分类情况以及解决办法：

• 1 z的叔节点y是红色

  即按照上述思路1中的方式，把z.p由红色变成黑色，z.p.p由黑色变成红色，z这一路保持黑高不变，z的叔节点由红色变成黑色，同样保持了黑高不变。z.p.p重新定义为z，继续下一次的轮回。

• 2 z的叔节点y是黑色的且z是一个右孩子

  即按照上述思路2中的方式，通过左旋，来保证z.p的右子树不能是红色，必须是黑色（因为这个右子树将来要作为红色节点的孩子节点）

• 3 z的叔节点y是黑色的且z是一个左孩子

  即按照上述思路2中的方式，通过对z.p进行右旋，z.p顶替了z.p.p及其颜色，z.p.p拉下着为红色，并将z.p之前的右子树挂到z.p.p的左子树下。

2.4 删除

2.4.1 普通删除

再来简单回顾下二叉搜索树的删除：

要删除的节点为z

删除就是分如下的3个条件：

• z没有孩子：直接删除
• z只有1个孩子：将孩子替换z
• z有2个孩子：用z的后继y来替换z，同时y的右孩子来替换y的过程。

2.4.2 修正

这时候可能有3个节点：

• z：要删除的节点
• y：z的后继
• r：y的右孩子

在没删除之前，要删除的节点z的颜色可红可黑，y可红可黑，r如果存在的话只能是红色（因为y是没有左孩子的，如果r存在并且是黑色的，那么r这一路包含的黑色节点个数比y的另一路多，不符合性质5）。

问题就来了：这里有几个位置的节点需要进行修复？z的位置？y的位置？r的位置？

结合上面删除的3种情况来详细分析下：

• z没有孩子：直接删除。

  如果z是红色的话，此时什么性质都没有违反。

  如果z是黑色的话，那么就少了一个黑色，之后需要补一个黑色。

• z只有一个孩子：直接将孩子替换成z。

  如果z是红色，则z的孩子必然都是黑色，由于只有1个孩子，那么就违反了性质5，则这种情况是不存在的。

  那么z只能是黑色，并且那一个孩子只能是红色。此时孩子替换了z，缺少了一个黑色，需要补回来。

• z有2个孩子：y的右孩子替换y（如果有的话），y替换z

  那么z的后继y要替换z，继承z的颜色，那么z处就仍保持不变。y的右孩子r（如果有的话）要替换y，那么此时可能违反性质的地方就是y处了。

  如果y是红色，则孩子必须是黑色，y是z的后继，则y是没有左孩子，y如果有右孩子，则必然是黑色，此时又不满足性质5。所以y是红色的时候，y是没有右孩子的。那么此时删除y就不违反任何性质。

  如果y是黑色，如果有右孩子，则必然是红色（如果是黑色则不满足性质5）。所以不管有没有右孩子，此时删除y都是少了个黑色的，需要补回来的。

从上面可以看到有时候是需要修复z处的，有时候是需要修复y处的。进行统一概括的话，设置一个变量为x节点，该节点为需要修复的地方，得到如下结论：

• 如果x处节点原本是红色的话，没有违反任何性质，不需要修复
• 如果x处节点原本是黑色的话，都是少了一个黑色，需要修复的

其中x在前2种情况下就是原z处节点，在最后一种情况下就是原y处节点。

下面要解决的问题就是：对x节点缺少一个黑色的修复

最直接的解决办法如下：

• 1 对x这一路多补充一个黑色节点，即执行一次左旋或者右旋，往x这一路多扔一个节点，然后将该节点着为黑色
• 2 对x的父节点加一层黑色

下面就来详细展开下上述2个解决办法，来推导出对应的情况：

• 1 对x这一路多补充一个黑色节点，即执行一次左旋或者右旋，往x这一路多扔一个节点，然后将该节点着为黑色

  这时候相当于x的兄弟节点那一路要给出一个节点，即它就少了一个节点。少了一个节点还要能保住黑高不变，则必然是扔了一个红色节点过来。扔过来后，再把该节点着为黑色，就为x这一路多增加了一个黑色，从而弥补了缺少的黑色。

  设定x的兄弟节点是w。上述扔的操作可能执行的是左旋也可能是右旋，这里先假定是左旋。则这里w的右孩子替代w，w替代w的父节点及其颜色，w的父节点拉下来，并着为黑色。

  根据上述描述，要想保证w这一路在少了一个节点之后，黑色数目不变，则w和w的右孩子必然有一个是红色，一个是黑色（2红违反性质4所以不可能，2黑则必然要少一个黑色所以也不可能）。到底谁是红色呢？

  w的左孩子要作为w的原来父节点（该节点要被着为黑色）的右孩子，所以w的左孩子要挂在黑色的父节点下，要想保证黑高不变，那么该节点之前挂在w节点下，那么w节点也必须是黑色，则w的右孩子是红色了。

  下面来看下这个过程：

  原本为：

  

  经过上述左旋并着色的操作过程后为：

  

  所以只要满足了w为黑色，w的右孩子为红色，就可以采用该解决办法

  为了满足w为黑色，w的右孩子为红色。也分如下几种情况：

  • w为红色，则w的孩子必然为黑色（你可能认为万一w没有孩子怎么办？这里是不可能的，因为w的另一路z缺少了一个黑色，那么之前必然有一个黑色，而如果w没有孩子，则w这一路必然比z那一路少一个黑色，不满足性质5，所以不存在这种可能）。这时候如果对w进行左旋或者是右旋必然会改变左右黑高的不平衡。w为红色，则w.p为黑色，此时可以把w这一路的红色扔过去即执行左旋，w.p变为红色，w变为黑色。w的左子树（左孩子为黑色）作为w.p的右孩子。重新更正w为原w的左孩子，由于颜色为黑色，则可转到如下几种情况：
  • w为黑色，w的右孩子为红色，这种本身就满足
  • w为黑色，w的右孩子为黑色，左孩子为黑色：这种不存在红色，排除
  • w为黑色，w的右孩子为黑色，左孩子为红色：可以进行右旋，如下图所示的转换

    原本为：

    

    右旋并着色后：

    

• 2 对x的父节点加一个黑色

  父节点加一个黑色，那么就要求x的兄弟节点必须要减少一个黑色。从上述解决办法1种可以得到，只有在w为黑色，w的2个孩子都为黑色的时候，无法采用解决办法1。这时候可以来采用解决办法2。

  将w着为红色，那么w这一路就可以减少一个黑色。

  减少了一个黑色之后，如果x的父节点是红色，那么直接将红色着为黑色，即可达到父节点多加一个黑色。如果x的父节点是黑色，那么就意味着x的父节点无法增加一个黑色，即缺少一个黑色，即将x设置为x的父节点，重新进入下一个轮回。

  你可能意识到，如果一直轮回直到x的父节点是根，此时仍无法添加一个黑色，那么此时相当于全部所有节点都减少了一个黑色，仍然是不违反任何性质的，只是比之前的黑高小1。

所以从上面的2个解决办法中可以总结出来如下算法导论中的4种情况：

• 1 x的兄弟节点w是红色：

  可以通过左旋来重新更正w的位置，更正后的w为黑色，转为如下几种情况

• 2 x的兄弟节点w是黑色，w的孩子全部是黑色

  利用解决办法2，将x的父节点加一个黑色，将w这一路减少一个黑色。如果父节点是红色，那么直接着为黑色即相当于加上了黑色，如果父节点是黑色，那么将x设置为x的父节点，认为此时x仍然是缺少一个黑色，即开始下一个轮回

• 3 x的兄弟节点w是黑色，w的右孩子是黑色，左孩子是红色：

  可以通过右旋达到下面的情况4

• 4 x的兄弟节点w是黑色，w的右孩子是红色

  可以利用解决办法1，将w那一路的红色节点扔到x这一路，然后着为黑色，即x增加了一个黑色。而w那一路减少的是一个红色，所以黑高仍然保持不变。

至此，我们来总结下删除的2个重要过程：

• 1 确定要修复的x的位置

  x的位置可能是z处，也可能是y处。参见算法导论中这一个过程：

  

  上述RB-TRANSPLANT函数就是节点替换的函数，RB-DELETE-FIXUP函数就是修正函数

• 2 修正过程

  修正过程即按照上述的分析总结对应的4种情况来处理，见算法导论如下图

  

至此，总算是将红黑树主要的插入和删除描述完毕了。

3 红黑树总结

过程各种分析情况挺多的，但是我们更应该去记住本质的东西，从而能够达到自己去推理对应的过程，所以再次强调

• 插入：

  为了解决父子红红问题，有如下2种直接的解决办法：

  • 父节点设置为黑色
  • 一个红节点扔到另一个子树中
• 删除：

  为了解决缺少一个黑色的问题，有如下2种直接的解决办法：

  • 增加一个黑色节点，可以通过左旋来得到，即另一子树扔过来一个红色（本身保证黑色不减少）
  • 父节点增加一个黑色

我们从上述直接的解决办法中就可以推理出去，自然就能得到该怎么分类，每个分类下具体怎么操作了。

一个可以检验你是否真的理解红黑树的办法就是：不借助任何东西，你自己是否能够在一张白纸上自己推导一遍。

本文章涉及到细节很多，难免有疏漏的地方，还请批评指正。

欢迎继续来讨论，越辩越清晰。

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