《计算机视觉：模型、学习和推理》——3.11　习题

3.11　习题

3.1　已知变量x服从参数为λ的伯努利分布。证明：E［x］=λ；E［(x-E［x］)2］=λ(1-λ）。
3.2　请给出用参数α和β表示贝塔分布（α,β>1）的模（峰值位置）的表达式。
3.3　贝塔分布的均值和方差由如下表达式给出
不妨选择参数α和β，使分布有一个特殊的均值μ和方差σ2。根据μ和σ2推导出α和β的合适表达式。
3.4　本章所有的分布都是指数族的成员，可以写成下形式
这里,a［x］和c［x］是数据的函数，b［θ］和d［θ］是参数的函数。求函数a［x］，b［θ］，c［x］和d［θ］，使贝塔分布能够表示为指数族的广义形式。
3.5　使用分部积分法来证明，如果

3.6　考虑一簇方差为1的正态分布，即
证明它与一个参数为μ的正态分布
是共轭的。
3.7　对于正态分布，求函数a［x］、b［θ］、c［x］和d［θ］，使它可以表示为指数族的广义形式（见习题3.4）。
3.8　设参数为α、β、γ、δ，试求正态逆伽马分布的模（μ，σ2空间的峰值位置）的表达式。
3.9　证明更为一般的共轭关系：I个伯努利分布的积与其共轭贝塔分布相乘的关系如下
Nk是变量取k的总次数。
3.11　证明正态分布和正态逆伽马分布之间的共轭关系为
3.12　证明多元正态分布和正态逆维希特分布之间的共轭关系为
其中