【算法导论】堆排序

        堆排序像合并排序一样，时间复杂度为O(nlogn);像插入排序一样，是一种原地排序（在任何时候只有常数个元素存储在数组外）。

        二叉堆的概念：是一种数组对象，可以被视为一棵完全二叉树，树的每一层都是填满的，最后一层可能除外。

        二叉树有两种：最大堆和最小堆。最大堆：父节点不小于子节点。最小堆：父节点不大于子节点。在堆排序中我们使用最大堆；最小堆通常在构造优先队列时使用。

        进行堆排序分为三个模块：1.保持最大堆性质；2.建堆；3：进行排序。

        1.保持最大堆性质即使以i为根的子树成为最大堆

            可以由下图为例：

   具体程序如下：

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA 父节点的下标i
 功能：使以i为根的子树成为最大堆
 时间复杂度：lgn即树的层数
\*****************************************/

void MaxHeapify(int* arrayA,int n,int i)//i为父节点的在数组的下标
{

	int Length=n;

	int l=2*i;//l为左子节点的在数组的下标
	int r=l+1;//r为右子节点的在数组的下标
	int largest=0;
	int temp=0;

	if((l<Length)&&(arrayA[l]>arrayA[i]))
       largest=l;
	else
		largest=i;
	if((r<Length)&&(arrayA[r]>arrayA[largest]))
	    largest=r;
	if(largest!=i)
	{
		temp=arrayA[i];
		arrayA[i]=arrayA[largest];
		arrayA[largest]=temp;
		MaxHeapify(arrayA,n,largest);
	}
}

    2.建堆：使数组arrayA中的元素成为最大堆

具体程序如下：

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA
 功能：使数组arrayA中的元素成为最大堆
 时间复杂度：nlgn
\*****************************************/
void BuildMaxHeap(int* arrayA,int n)
{
	for(int i=n/2;i>0;i--)
		MaxHeapify(arrayA,n,i);
}

3.堆排序

   主要思想是将每次的堆的顶节点与最末的叶节点进行交换，然后重新根据最大堆性质使得顶节点（根）成为最大值，如此循环。

具体程序如下：

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA
 功能：进行从小到大的排序
 时间复杂度：nlgn
\*****************************************/
void HeapSort(int* arrayA,int n)
{
	int temp=0;
	int Length=n;
	for(int i=Length-1;i>=2;i--)
	{
		temp=arrayA[1];
		arrayA[1]=arrayA[i];
		arrayA[i]=temp;
		n--;
		MaxHeapify(arrayA,n,1);

	}
}

下面将三个步骤综合起来，总的排序算法程序如下：

#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;

void MaxHeapify(int* arrayA,int n,int i);//保持最大堆的性质
void BuildMaxHeap(int* arrayA,int n);//构造堆
void HeapSort(int* arrayA,int n);//进行堆排序

void main()
{

	int arrayA[11]={0,4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};//第一个空间不用，是为了方便下标计算

	int Length=sizeof(arrayA)/sizeof(int);//数组的长度

	BuildMaxHeap(arrayA,Length);//利用数组arrayA建立最大堆

	cout<<"原序列为：";
    for(int i=0;i<Length;i++)
		cout<<arrayA[i]<<" ";
	cout<<endl;

	HeapSort(arrayA,Length);

	cout<<"排序好的序列为：";
	for(int i=0;i<Length;i++)
		cout<<arrayA[i]<<" ";
	cout<<endl;

}

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA 父节点的下标i
 功能：使以i为根的子树成为最大堆
 时间复杂度：lgn即树的层数
\*****************************************/

void MaxHeapify(int* arrayA,int n,int i)//i为父节点的在数组的下标
{

	int Length=n;

	int l=2*i;//l为左子节点的在数组的下标
	int r=l+1;//r为右子节点的在数组的下标
	int largest=0;
	int temp=0;

	if((l<Length)&&(arrayA[l]>arrayA[i]))
       largest=l;
	else
		largest=i;
	if((r<Length)&&(arrayA[r]>arrayA[largest]))
	    largest=r;
	if(largest!=i)
	{
		temp=arrayA[i];
		arrayA[i]=arrayA[largest];
		arrayA[largest]=temp;
		MaxHeapify(arrayA,n,largest);
	}
}

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA
 功能：使数组arrayA中的元素成为最大堆
 时间复杂度：nlgn
\*****************************************/
void BuildMaxHeap(int* arrayA,int n)
{
	for(int i=n/2;i>0;i--)
		MaxHeapify(arrayA,n,i);
}

/*****************************************\
 输入：原始数组arrayA
 功能：进行从小到大的排序
 时间复杂度：nlgn
\*****************************************/
void HeapSort(int* arrayA,int n)
{
	int temp=0;
	int Length=n;
	for(int i=Length-1;i>=2;i--)
	{
		temp=arrayA[1];
		arrayA[1]=arrayA[i];
		arrayA[i]=temp;
		n--;
		MaxHeapify(arrayA,n,1);

	}
}

注意：我是在vs2008上运行的，与vc 6.0有点区别，主要是循环体中的循环变量的作用域，出错体现在循环变量的重复定义上。例如：在vs2008或vs2010上，程序为：

#include<stdio.h>
void main()
{
int i=0;
for(int i=0;i<5;i++)
printf("%d ",i);
}

则在VC 6.0上需改为：

#include<stdio.h>
void main()
{
int i=0;
for(i=0;i<5;i++)
printf("%d ",i);
}　

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/9152899

作者：nineheadedbird