递归函数（一）：开篇
递归函数（二）：编写递归函数的思路和技巧
递归函数（三）：归纳原理
递归函数（四）：全函数与计算的可终止性
递归函数（五）：递归集与递归可枚举集
递归函数（六）：最多有多少个程序
递归函数（七）：不动点算子
递归函数（八）：偏序结构
递归函数（九）：最小不动点定理
回顾
上文中我们讨论了全函数和部分函数，以及计算的可终止性。
本文我们从数论函数开始，给原始递归函数集增加一种新的运算，得到了一个更大的集合。
然后根据递归函数，我们可以定义递归集和递归可枚举集，
为以后讨论可计算性与可判定性打好基础。
数论函数
自然数集一般记为\(N=\lbrace 0,1,2,\cdots \rbrace\)，那么\( n \)个自然数集的笛卡尔积记为\(N^n\)，
于是，我们称集合\(N^n\)到\(N\)的部分函数为\(n\)元部分数论函数。
作为数论函数，\(2x\)是一个全函数，而\(x/2\)，\(x-y\)，\(\sqrt{x}\)只是部分函数，
它们的计算结果，\(3/2\)，\(4-6\)，\(\sqrt{5}\)都不在\(N\)中，于是相应定义域中的点可视为没有定义。
为什么讨论数论函数呢，其一是因为它是一个典型数学的问题，
另外一点，则是因为我们经常把其他数学问题转换成数论问题，例如，哥德尔编码。
本文中，使用数论函数，可以简化我们的描述方式。
一个谓词，指的是返回布尔值的函数，
我们还可以将谓词看做值域为\(\lbrace 0,1\rbrace \)的一个数论函数。
\(0\)代表True，\(1\)代表False。
极小化算子
在前一篇中，我们从三个初始函数出发，
通过合成运算和原始递归运算，得到了原始递归函数集，
递归函数集是相对于这两种运算封闭的。
然而，这样定义的原始递归函数，并不能包括所有的数论函数，
一个典型的例子就是，阿克曼函数，
ackermann :: Int -> Int -> Int
ackermann 0 x = x+1
ackermann k 0 = ackermann (k-1) 1
ackermann k x = ackermann (k-1) $ ackermann k x-1
它并不是一个原始递归函数，（证略
因此原始递归函数集并不足以表示计算机程序中的所有函数。
为此，我们需要对原始递归函数集进行扩充，我们定义一个新的运算，称为极小化运算，
设\(P(x_1,\cdots ,x_n,t)\)是一个谓词，令
\(f(x_1,\cdots ,x_n)=min\ P(x_1,\cdots ,x_n,t)\)
\(f(x_1,\cdots ,x_n)\)的值，或者是使\(P(x_1,\cdots ,x_n,t)\)为真的最小\(t\)值，
或者无定义，此时不存在\(t\)使得\(P(x_1,\cdots ,x_n,t)\)为真。
这样通过\(min\)得到\(f(x_1,\cdots ,x_n)\)的过程称为极小化运算，
也称部分函数\(f(x_1,\cdots ,x_n)\)是由谓词经过极小化运算得到的。
以上我们给谓词定义了极小化运算，现在我们将极小化运算推广到一般的函数上面，
设\(g(x_1,\cdots ,x_n,t)\)是一个\(n+1\)元函数，令
\(f(x_1,\cdots ,x_n)=min\lbrace g(x_1,\cdots ,x_n,t)=0\rbrace \)
则称部分函数\(f(x_1,\cdots ,x_n)\)是由函数\(g(x_1,\cdots ,x_n,t)\)经过极小化运算得到的。
递归函数集
和定义原始递归函数集一样，我们从以下三个初始函数出发，
（1）零函数\(n(x)=0\)
（2）后继函数\(s(x)=x+1\)
（3）投影函数\(u^n_i(x_1,\cdots ,x_n)=x_i\)，\(i\leqslant i\leqslant n\)
由初始函数，经过有限次合成运算，原始递归运算，以及极小化运算，得到的函数称为递归函数。
递归函数并不一定是全函数，因为极小化运算可能会导致结果函数在某些点无定义，
递归的部分函数称为部分递归函数。
可以证明阿克曼函数是递归函数，但不是原始递归函数，
因此，原始递归函数集是递归函数集的真子集。
递归可枚举集
在具体实践中，我们经常会遇到这样的问题，
给定一个元素，我们需要判断这个元素是否属于某个集合。
这种问题，称为集合的成员资格问题。
沿用这一思路，我们可以使用一个谓词\(\chi _B\)来定义相应的集合\(B\subseteq N\)，
\(B=\lbrace x\in N|\chi _B(x)\rbrace \)
谓词\(\chi _B(x)\)为真，则\(x\in B\)。
这个谓词\(\chi _B(x)\)，通常称为集合\(B\)的特征函数。
如果特征函数\(\chi _B\)是第一个递归的全函数，
则我们总是可以判断\(\chi _B(x)\)等于\(0\)还是\(1\)，
这样的集合\(B\)称为递归集。
如果存在部分递归函数\(g\)，使得\(B=\lbrace x\in N|g(x)\downarrow \rbrace\)，
即，\(x\in B\)当且仅当\(g\)在\(x\)处有定义，
则称集合\(B\)是一个递归可枚举集。
因此，对于每一个自然数\(x\in N\)，
我们总是可以通过递归集\(B\)的特征函数\(\chi _B\)，来判断\(x\)是否\(B\)的成员。
而对于递归可枚举集，就不容乐观了，
如果某个自然数\(x\in N\)是\(B\)的成员，那么我们可以断定这件事，因为\(g(x)\)有定义，
但是如果某个自然数\(y\in N\)不是\(B\)的成员，我们就不能确定，因为这时候\(g(x)\)无定义。
（\(g(x)\)无定义，则它对应的图灵机不停机，后文我们详细讨论
因此，集合\(B\)是递归的当且仅当\(B\)和\(\bar{B}\)是递归可枚举的，
其中\(\bar{B}\)为\(B\)的补集。
总结
本文介绍了数论函数，递归函数集，然后用递归函数分别定义了递归集和递归可枚举集，
可是为什么递归可枚举集是“可枚举”的呢？
是因为每一个递归可枚举集可以一一对应一个自然数，这是怎样做到的呢？
这需要我们理解总共有多少个可能的程序，以及什么是通用程序。