[家里蹲大学数学杂志]第295期赣南师范学院数学竞赛培训01-10套模拟试卷参考解答

1. 设 $f,g$ 是某数域上的多项式, $m(x)$ 是它们的首一最小公倍式, 而 $\scrA$ 为该数域上某线性空间 $V$ 的一个线性变换. 试证: $$\bex \ker f(\scrA)+\ker g(\scrA)=\ker m(\scrA). \eex$$ 证明: 先证: $\ker f(\sigma)+\ker g(\sigma)\subset\ker m(\sigma).$ 由 $f|m$, $g|m$ 知 $\ker f(\sigma)\subset \ker m(\sig

1. 设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. (1) 试证: $$\bex 4|f(x)|\leq \int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ (2) 若再设 $f'(0)=1$, $f'(1)=0$, 试证: $$\bex 4\leq \int_0^1 |f''(x)|^2\rd x. \eex$$  证明: (1) 用 $

1. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, $\rank(A)<n$, 且 $A=B_1\cdots B_k$, 其中 $B_i^2=B_i$, $i=1,\cdots,k$. 试证: $$\bex \rank(E-A)\leq k\sez{n-\rank(A)}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \rank(E-A)&=\rank(E-B_1\cdots B_k)\\ &=\rank(E-B_1+B_1(E-B_2\cdots B_k))\\ &\leq \

1. 设整数 $n\geq 2$, 并且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是互不相同的整数. 证明多项式 $$\bex f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1 \eex$$ 在有理数域上不可约. 证明: 用反证法. 若 (任一非零有理系数多项式均可写成一个有理数与一个本原多项式的乘积) $$\bex f(x)=g(x)h(x),\quad g(x)\in\bbZ[x],\ h(x)\in \bbZ[x],\quad 1\leq \deg g(x),\ \d

    1. 求 $\dps{\int_\vGa y^2\rd s}$, 其中 $\vGa$ 由 $\dps{\sedd{\ba{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+z&=a \ea}}$ 决定. 解答: $\vGa$: $$\bex \sedd{\ba{rl} \sex{x-\cfrac{a}{2}}^2+y^2+\sex{z-\cfrac{a}{2}}^2&=\cfrac{a^2}{2}\\ \sex{x-\cfrac{a}{2}}+\sex{y-\cfrac{a

1. 设 $f(\al,\beta)$ 为线性空间 $V$ 上的非退化双线性函数, 试证: $$\bex \forall\ g\in V^*,\ \exists\ |\ \al\in V,\st f(\al,\beta)=g(\beta),\quad \forall\ \beta\in V. \eex$$ 证明: (1) 唯一性: 设 $\tilde\al$ 也适合题意, 则 $$\beex \bea &\quad f(\al,\beta)=f(\tilde\al,\beta),\quad \f

1. 计算下列定积分: (1) $\dps{\int_{-\pi}^\pi \frac{x\sin x \arctan e^x}{1+\cos^2x}\rd x}$; (2) $\dps{\int_{\frac{1}{2}}^2 \sex{1+x-\frac{1}{x}}e^{x+\frac{1}{x}}\rd x}$. 解答: $$\beex \bea &\quad\int_{-\pi}^\pi \frac{x\sin x \arctan e^x}{1+\cos^2x}\rd x =\int_

1. 对定义域为全体 $n$ 阶矩阵的函数 $f: \bbR^{n\times n}\to \bbR$, 如果 $\dps{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}$ 对 $A$ 中每个元素 $a_{ij}$ 都存在, 则记 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$$ 试证: (1) $\n_A\tr (AB)=B^T$; (2) $\n_A \tr(ABA^TC)=CAB+C^TAB^T$. 证明: (1) $$\bee

    数学分析部分     1. 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.   2. 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\cfrac{\pi}{2}. \eex$$   3. 试