[3D基础]切空间推导原理(3)

本篇为3D基础的第3部分，主要讲述顶点切向量的计算原理，相信很多人都对Shader里的Tangent分量没有深入了解，希望我的这篇文章能对各位理解切空间有所帮助。我们以凹凸映射为例子来解释今天的原理。

实际上凹凸贴图中存储的发现扰动值实际上是以图中X Y为基的（对凹凸映射不太熟悉的请先参考其他相关文章）。所以需要一个转换将纹理坐标系转换到世界坐标系中，这个转换其实是一个基变换过程（参见3D基础2），说白了就是要找到纹理在世界空间中是如何摆的，纹理在方向的变化率如何。而要得到这点，需要计算得到U V轴分别对应到世界坐标系中的向量。如果纹理映射到三角形不时均匀的，Tangent向量和Binormal向量肯定不是正交的。已知：空间三角形3个顶点坐标分别为（Xa, Ya, Za）（Xb, Yb, Zb）（Xc, Yc, Zc），纹理坐标分别为（Sa, Ta）（Sb, Tb）（Sc, Tc），因此得：

条件：

纹理向量 ( (Sb - Sa), (Tb - Ta) ) => 世界向量 ( (Xb - Xa), (Yb - Ya), (Zb - Za) )

纹理向量 ( (Sc - Sa), (Tc - Ta) ) => 世界向量 ( (Xc - Xa), (Yc - Ya), (Zc - Za) )

需要求：

( 1, 0 ) => Tangent
( 0, 1 ) => Binormal

D表示三角形内任意一点: D - A = ( S - Sa ) * T + ( T - Ta ) * B，设

P = B - A
Q = C - A

( S1, T1 ) = ( (Sb - Sa), (Tb - Ta) )
( S2, T2 ) = ( (Sc - Sa), (Tc - Ta) )

| Px Py Pz |　 | S1 T1 |　 | Tx Ty Tz |
　　　　　　　　　=　　　　　 *
| Qx Qy Qz |　 | S2 T2 |　 | Bx By Bz |

最后我们计算得到的T B N之间很有可能并不正交，这样严格意义上他们并不能直接用来进行基转换，但只要T B N之间夹角接近垂直就OK，在最终视觉上不会有太多影响，特别是在 T B 与N垂直的情况，毕竟只相当于将扰动NORMAL绕N小转个角度，一般先用Gram-Schmidt算法让TBN正交后再作处理：

T' = T - (N*T)N
B' = B - (N*B)N - (T'*B)T'
N' = N

提示：当基轴互相不正交的时候，Vx*x + Vy*y + Vz*z是不正确的切空间到世界空间表示，当为夹角为锐角时结果模会偏大，而且方向也是错误的，钝角结果模会偏小，方向也不对。