《计算机视觉：模型、学习和推理》——3.6　正态逆伽马分布

3.6 正态逆伽马分布 正态逆伽马分布(见图3-6)由μ和σ2两个参数定义,其中,前者可取任意值,后者仅取大于零的值.同样,该分布可以定义正态分布中参数方差和均值的分布.正态逆伽马分布有4个参数α.β.γ.δ,其中,前三个参数为正实数,最后一个参数可取任意值.其表达式为:或者简写为:图3-6 正态逆伽马分布由一个二元连续变量μ,σ2定义的分布定义,其中,前者可取任意值,后者为非负值.a) 参数为［α,β,γ,δ］=［1,1,1,0］的分布.b) 改变α.c)改变β.d) 改变β.e) 改变γ

3.8 正态逆维希特分布 正态逆维希特分布由一个D×1维向量μ和D×D维正定矩阵Σ定义.同样,它可以用来描述多元正态分布中参数的概率分布.正态逆维希特分布有四个参数α,ψ,γ,δ,其中,α,γ是正的标量,δ为D×1维向量,ψ是D×D维正定矩阵其中,ΓD［］是多元伽马函数,Tr［ψ］是矩阵ψ的秩(见附录C.2.4节).它也可以简写为:正态逆维希特分布的数学形式很模糊.然而,任何给定有效的均值向量μ和协方差矩阵Σ代入函数后得到的都是正值,这样将所有的μ和Σ代入求和,结果为1.正态逆维希特分布的图像

3.8 正态逆维希特分布 正态逆维希特分布由一个D×1维向量μ和D×D维正定矩阵Σ定义.同样,它可以用来描述多元正态分布中参数的概率分布.正态逆维希特分布有四个参数α,ψ,γ,δ,其中,α,γ是正的标量,δ为D×1维向量,ψ是D×D维正定矩阵其中,ΓD［］是多元伽马函数,Tr［ψ］是矩阵ψ的秩(见附录C.2.4节).它也可以简写为:正态逆维希特分布的数学形式很模糊.然而,任何给定有效的均值向量μ和协方差矩阵Σ代入函数后得到的都是正值,这样将所有的μ和Σ代入求和,结果为1.正态逆维希特分布的图像

前言 目前,已有很多关于计算机视觉的书籍,那么还有必要再写另外一本吗?下面解释撰写本书的原因. 计算机视觉是一门工程学科,机器在现实世界中捕获的视觉信息可以激发我们的积极性.因此,我们通过使用计算机视觉解决现实问题来对我们的知识进行分类.例如,大多数视觉教科书都包含目标识别和立体视觉内容.我们的学术研讨会也是用同样的模式进行组织的.本书对这一传统方式提出了质疑:这真的是我们组织自己知识的正确方法吗? 对于目标识别问题,目前已提出多种算法解决这一问题(例如子空间模型.boosting模型.语义包模

**前言**目前,已有很多关于计算机视觉的书籍,那么还有必要再写另外一本吗?下面解释撰写本书的原因.计算机视觉是一门工程学科,机器在现实世界中捕获的视觉信息可以激发我们的积极性.因此,我们通过使用计算机视觉解决现实问题来对我们的知识进行分类.例如,大多数视觉教科书都包含目标识别和立体视觉内容.我们的学术研讨会也是用同样的模式进行组织的.本书对这一传统方式提出了质疑:这真的是我们组织自己知识的正确方法吗?对于目标识别问题,目前已提出多种算法解决这一问题(例如子空间模型.boosting模型.语义包

3.9 共轭性 贝塔分布可以表征伯努利分布中参数的概率,与之相似,狄利克雷分布可表征分类分布参数的分布,同样的类比关系也适用于正态逆伽马分布与一元正态分布.正态逆维希特分布与多元正态分布之间.这些配对有很特殊的关系:在每种情况下前一个分布是后一个的共轭:贝塔分布与伯努利分布共轭,狄利克雷分布与分类分布共轭.当把一个分布与其共轭分布相乘时,结果正比于一个新的分布,它与共轭形式相同.例如:其中,k是缩放因子,相对于变量λ它是一个常量.值得注意的是,这个式子并不总是成立:如果选择其他分布而非贝塔分布,

3.9 共轭性 贝塔分布可以表征伯努利分布中参数的概率,与之相似,狄利克雷分布可表征分类分布参数的分布,同样的类比关系也适用于正态逆伽马分布与一元正态分布.正态逆维希特分布与多元正态分布之间. 这些配对有很特殊的关系:在每种情况下前一个分布是后一个的共轭:贝塔分布与伯努利分布共轭,狄利克雷分布与分类分布共轭.当把一个分布与其共轭分布相乘时,结果正比于一个新的分布,它与共轭形式相同.例如:其中,k是缩放因子,相对于变量λ它是一个常量.值得注意的是,这个式子并不总是成立:如果选择其他分布而非贝塔分布

总结 使用概率分布可以描述全局状态和图像数据.为此已经给出了四个分布(伯努利分布.分类分布.一元正态分布.多元正态分布).还给出了另外四个分布(贝塔分布.狄利克雷分布.正态逆伽马分布.正态逆维希特分布),可以用于描述上一组分布的参数的概率分布,因此它们可以描述拟合模型的不确定性.这4对分布有特殊关系:第二组中的每个分布是对应的第一组的共轭.正如我们看到的,共轭关系可以更容易地拟合观测数据并在拟合分布模型下评估新的数据.备注本书用较为深奥的术语来介绍离散分布,区分二项分布(在N次二值试验中获得M次

3.11 习题 3.1 已知变量x服从参数为λ的伯努利分布.证明:E［x］=λ:E［(x-E［x］)2］=λ(1-λ).3.2 请给出用参数α和β表示贝塔分布(α,β>1)的模(峰值位置)的表达式.3.3 贝塔分布的均值和方差由如下表达式给出不妨选择参数α和β,使分布有一个特殊的均值μ和方差σ2.根据μ和σ2推导出α和β的合适表达式.3.4 本章所有的分布都是指数族的成员,可以写成下形式这里,a［x］和c［x］是数据的函数,b［θ］和d［θ］是参数的函数.求函数a［x］,b［θ］,c［x］和d［