*1.6 整数的存储
数学家们长久以来就对数字记数系统很感兴趣，而且他们的许多想法已经被证明与数字电路的设计是相符的。本节，我们将研究其中两种记数系统：二进制补码记数法和余码记数法。它们都是计算设备用于表示整数的方法。虽然这些系统都是基于二进制系统的，但是它们增加了一些其他的特性，因而与计算机设计更加兼容。尽管它们有这么多的优点，但是它们也有缺点。我们的目标是了解这些特性以及它们是如何影响计算机用法的。
模拟与数字
在21世纪之前，许多研究人员都在讨论数字技术和模拟技术的优缺点。在数字系统里，一个数值会被编码成一系列数字，存储在若干设备中，每个设备表示一个数字。在模拟系统里，每个数值都存储在一个单独的设备里，这个设备可以表示一个连续范围内的任何数值。
让我们用水桶当存储设备来比较这两种方法。为了模拟数字系统，我们让一个空桶表示数字0，一个满桶表示数字1，然后我们利用浮点记数法（见1.7节）将一个数字值存储在一排水桶中。相反，为了模拟模拟系统，我们用水桶水位表示数字值。乍一看，模拟系统看起来更精确，因为它不会有数字系统中的截断误差（见1.7节）。不过，在模拟系统中，水桶的任何移动都会使水位检测出错，而在数字系统中，则必须有剧烈的晃动才能区分出水桶是满的还是空的。因此，数字系统不像模拟系统对错误那样敏感。由于数字系统的这种健壮性，许多原来基于模拟技术的应用（如电话通信、音频录制和电视）都转而使用数字技术。
1.6.1 二进制补码记数法
现今计算机中最流行的整数表示系统是二进制补码（two’s complement）记数法。这个系统采用固定数目的二进制位来表示系统中的每一个数值。现今设备中普遍采用二进制补码系统，其中每个数值用一个32位的模式表示。这种大系统能表示很大范围的数字，但不方便演示。因此，在学习二进制补码系统的特性时，我们将着重介绍较小的系统。
图1-19列出了两种完整的二进制补码系统，一种基于长度为3的位模式，另一种基于长度为4的位模式。要构造这种系统，首先要规定一组适当长度的二进制0，接着用二进制计数，直到只有一个0、其他都是1的模式形成。这些模式表示数值0, 1, 2, 3, …。要想获得表示负值的模式，首先要规定一组适当长度的二进制1，接着按照二进制反向计数，直到只有一个1、其他都是0的模式形成。这些模式表示数值-1, -2, -3, …。（如果你认为利用二进制反向计数有困难，那么可以从表格底部只有一个1、其他都为0的模式开始，向上计数到全是1的模式。）
注意，在二进制补码系统中，位模式最左边的二进制位指明了所表示的数值的符号。因此，最左边的位常称为符号位（sign bit）。在二进制补码系统中，符号位为1的模式表示负值，符号位为0的模式表示非负值。
在二进制补码系统中，绝对值相同的正负数值的表示模式之间有一种对应关系，从右向左读时，直到第一个二进制1（包括），它们都是相同的。然后，以这个1为分界线，左面的位模式互为补码。要得到一个模式的补码（complement），需要将所有的二进制0转换为1，并将所有的二进制1转换为0。例如，图1-19中的4位系统，表示2和-2的模式都是以10结束，但是表示2的模式开始为00，而表示-2的模式开始为11。观察到这一点，我们就可以得出在绝对值相同的、表示正负值的位模式之间进行转换的算法。我们只需要从右到左复制原始的模式直到第一个1，接着在将剩余位转换为最终位模式时，对这些剩余位取反（图1-20）。
理解了二进制补码系统的这些基本特性，还可以得出二进制补码表示法的一个解码算法。如果要解码的模式有一个符号位0，我们仅仅需要读出这个数值，就好像这个模式是一个二进制表示。例如，0110表示十进制数值6，因为110是6的二进制表示。如果要解码的模式有一个符号位1，我们就知道表示的数值是负的，而我们所要做的就是找到其绝对值。为了实现这个目的，我们首先要利用图1-20中“复制和取反”的步骤，然后对获得的模式进行解码，就仿佛它只是一个简单的二进制表示。例如，为了对模式1010解码，我们首先要意识到，因为这个符号位是1，表示的数值就是负的。因此，我们利用“复制和取反”步骤获得模式0110，认识到这是6的二进制表示，然后得出结论：原始的模式表示-6。
1．二进制补码记数法中的加法
为了计算二进制补码记数法中的数值相加，我们采用了二进制加法中使用的算法，只是包括答案在内的所有位模式长度都相同。这就意味着，在做二进制补码系统的加法时，如果最后一个进位导致答案左边产生了附加位，那么这个附加位一定会被截断。因此，“加法运算”0101和0010得出0111，0111和1011得出0010（0111+1011=10010，被截断为0010）。
根据这个理解，我们来分析一下图1-21中的3个加法问题。每一个情况，我们都把问题转化为二进制补码记数法（采用长度为4的位模式），演示先前描述过的加法过程，然后对结果进行解码，回到一般的十进制记数法。
注意，图1-21中的第3个问题涉及正数和负数的加法，它展示了二进制补码记数法的一个主要优点：有符号数的任何组合加法，都可以使用相同的算法从而使用相同的电路来实现。这与人们传统的算术运算截然不同。尽管小学生是先学加法，后学减法，但是应用二进制补码记数法的机器只需要知道如何相加就可以了。
例如，减法问题7-5与加法问题7+（-5）是一样的。因此，如果人们命令计算机执行7（存储为0111）减5（存储为0101），那么它首先要将5转换为-5（表示为1011），然后执行0111+1011的加法过程，得到代表数值2的0010，如下所示：
由此我们可以看到，当用二进制补码记数法表示数字值时，只需要将一个加法电路与一个取负电路组合在一起，就足以同时解决加法和减法这两个问题了。（这些电路的图示及解释详见附录B。）
2．溢出问题
我们在前面的例子中避开了这样一个问题：任意一个二进制补码系统对所能表示的数值大小都有限制。当使用4位模式二进制补码时，可以表示的最大正整数是7，最小负整数是-8。具体来说，就是无法表示数值9，这就意味着我们不能指望得出5+4的正确答案。事实上，它的结果会为-7。这种现象称为溢出（overflow）。也就是说，溢出指的是这样一个问题，即计算得出的数值超出了可以表示的数值范围。使用二进制补码记数法时，两个正值相加或两个负值相加都可能会出现这种情况。无论哪种情况，检查答案的符号位就可以发现溢出的条件。如果两个正值相加的结果是负值的模式，或者两个负值相加的结果为正，那么就发生了溢出问题。
当然，使用二进制补码系统的大多数计算机的位模式，都比我们上面例子中给出的长，因而在进行较大数值操作时不会产生溢出。现在，人们普遍使用二进制补码记数法的32位模式来存储数值，可以得到的最大正值是2 147 483 647。如果需要更大的数值，我们可以使用更长的位模式，或者改变度量单位。例如，在解答一个问题时用英尺代替英寸，所得的数值就会变小，而且也可以达到所要求的精确度。
关键问题是计算机会制造错误。因此，使用机器的人一定要意识到可能涉及的危险。其中一个问题就是，计算机程序员和使用者会自满而导致忽视一个事实——小数值可以累加成大数值。例如，人们过去普遍使用二进制补码记数法的16位模式表示数值，这就意味着出现大于或等于215 =32 768的数值时就会产生溢出。1989年9月19日，一家医院多年来运行良好的计算机出现了故障。仔细检查后发现，那天距1900年1月1日共32 768天，而计算机的程序正是基于那个起始日期开始计算日期的。因此，由于溢出原因，1989年9月19日的日期产生了负值——设计计算机程序时没有考虑到这种现象。
1.6.2 余码记数法
表示整数值的另外一种方法是余码记数法（excess notation）。与二进制补码记数法相同，余码记数法中的每一个数值也都是用相同长度的位模式表示的。为了建立余码系统，我们首先要选择所使用的模式长度，然后根据二进制记数呈现的顺序写下那个长度的所有位模式。接着我们发现，二进制1作为其最高位的第一个模式大约就在数列的中间。我们用这个模式表示0，其前的模式就分别用于表示-1, -2, -3, …，其后的模式分别用于表示1, 2, 3, …。使用长度为4的模式产生的编码如图1-22所示。我们可以看到，模式1101表示数值5，0011表示数值-5。（注意，余码系统和二进制补码系统的区别就是符号位相反。）
图1-22表示的系统称为余8记数法。为了了解其由来，我们先用传统二进制系统的编码解释每一个模式，然后将其与余码记数法表示的数值进行比较。你会发现，每一个模式的二进制解释值都要比余码记数法解释值大8。例如，模式1100在二进制记数法中表示数值12，在余码系统中表示4；0000在二进制记数法中表示数值0，但是在余码系统中表示-8。与此类似，在基于长度为5的位模式的余码系统中，模式10000表示的是0，而不是通常的数值16，该记数法称为余16记数法。同样，你可以证明3位余码系统应该称为余4记数法（见图1-23）。
问题与练习
1．将下面每一个二进制补码表示转换为相应的十进制形式。
a. 00011 b. 01111 c. 11100
d. 11010 e. 00000 f. 10000
2．用8位位模式将下列每一个十进制表示转换为相应的二进制补码形式。
a. 6 b. -6 c. -17
d. 13 e. -1 f. 0
3．假定下列位模式表示的是用二进制补码记数法存储的数值，求出每一个值的负值的二进制补码表示。
a. 00000001 b. 01010101 c. 11111100
d. 11111110 e. 00000000 f. 01111111
4．假定一台机器用二进制补码记数法存储数值，如果机器分别采用下列长度的位模式，那么可以存储的最大数和最小数分别是什么？
a. 4 b. 6 c. 8
5．在下列问题中，每个位模式表示一个用二进制补码存储的数值。请执行文中所述的加法过程，按照二进制补码记数法求出它们的答案。并将问题及答案转换为十进制记数法进行验证。
a. 0101+0010 b. 0011+0001 c. 0101+1010
d. 1110+0011 e. 1010+1110
6．计算下列由二进制补码记数法表示的问题，但这次要观察溢出问题，并指出哪个答案因产生溢出而不正确。
a. 0100+0011 b. 0101+0110 c. 1010+1010
d. 1010+0111 e. 0111+0001
7．将下列问题从十进制记数法转换为长度为4的位模式的二进制补码记数法，然后将每一个问题转换成一个相应的加法问题（如机器的做法），然后执行加法。将求得的答案转换为十进制记数法进行验证。
a． 6-(-1) b. 3-(-2) c. 4- 6
d. 2-(-4) e. 1- 5
8．在二进制补码记数法里，一个正数和一个负数相加时会产生溢出吗？请说明理由。
9．将下面每一个余8码表示转换为相应的十进制形式（解题时不要看文中的表格）。
a. 1110 b. 0111 c. 1000
d. 0010 e. 0000 f. 1001
10．将下列的每一个十进制表示转换为相应的余8码形式（解题时不要看文中的表格）。
a. 5 b. -5 c. 3
d. 0 e. 7 f. -8
11．数值9可以用余8记数法表示吗？用余4记数法表示6呢？请说明理由。