一、常用算法和复杂度
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算法 |
名称 |
复杂度 |
备注 |
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快速排序 |
QuickSort(A,p,r) |
最坏：O(n2) 平均：O(nlog n) 均衡划分：O(nlog n) |
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合并排序 |
MergeSort(A,p,r) |
O(nlog n) |
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选最大 |
FindMax |
O(n) |
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选最大和最小 |
FindMaxMin |
W(n)=3n/2-2=O(n) |
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找第二大 |
锦标赛法 |
n+logn-2 |
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选择第k小 |
Select |
O(n) |
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动态规划：矩阵连乘 |
MatrixChain(P,n) |
递归：O(2n) 非递归：O(n3) |
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动态规划：投资问题 |
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O(nm2) |
m元钱投资n个项目 |
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动态规划：背包问题 |
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目标函数、约束条件、递推方程 |
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动态规划：最长公共子序列 |
LCS_length(X,Y) LCS(B,i,j) |
W(mn)=O(mn) S(mn)=O(mn) |
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动态规划：图像压缩 |
Compress(P,n) |
T(n)=O(n) |
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动态规划：最大子段和 |
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顺序：O(n3) 分支策略：O(nlog n) 动态规划：O(n) |
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动态规划：凸多边形的三角划分 |
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时间O(n3)，空间O(n2) |
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动态规划：电路布线 |
MNS(C,n) |
T(n)=O(n2)，S(n)=O(n2) |
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动态规划：最优二叉搜索树 |
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T(n)=O(n2)，S(n)=O(n2) |
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贪心法：活动选择问题 |
Greedy Select |
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贪心法：最优装载问题 |
Loading |
O(nlogn) |
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贪心法：最小延迟调度问题 |
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O(n) |
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贪心法：找零钱问题 |
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贪心法：装箱问题 |
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贪心法：最优二元前缀码问题 |
Huffman（C） |
O(nlogn) |
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贪心法：文件归并 |
Huffman算法 |
O(nlogn) |
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贪心法：最小生成树 |
kruskal算法 |
O(nlogn) |
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贪心法：单源最短路径 |
Dijkstra算法 |
O(n2) |
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回溯法：四后问题 |
递归回溯，迭代回溯 四叉树，深度优先 |
指数级，蒙特卡罗法估计效率 |
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回溯法：最有装载问题二 |
子集数，深度优先 |
指数级 |
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分支估界：背包问题 |
代价函数，深度优先 |
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分支估界：最大团问题 |
子集树 代价函数：F=Cn+n-k 约束条件 |
O(n2n) |
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回溯法：图的m着色问题 |
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O(nmn) |
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分支估界：巡回售货员问题 |
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O(n!) |
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分支估界：圆排列问题 |
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O((n+1)!) |
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分支估界：电路板排列问题 |
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O(mn!) |
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分支估界：连续邮资问题 |
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指数级 |
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二、动态规划算法
设计步骤：
1） 将问题表示成多步判断
2） 确定是否满足优化原则---必要条件
3） 确定子问题的重叠性---估计算法效率
4） 列出关于优化函数的递推方程（或不等式）和边界条件
5） 自底向上计算子问题的优化函数值---非递归的算法
6） 备忘录方法记录中间结果
7） 标记函数追踪问题的解
问题：
1） 时间复杂性改进依赖于子问题的重叠程度
2） 空间复杂度较高
三、贪心算法
设计要素：
1）适用于满足优化原则的组合优化问题
2）将问题表示成多步判断
3）确定一个优化测度---贪心选择的依据
4）确定是否满足贪心选择性质---每步贪心选择都会导致最优解
5）自顶向下计算
贪心算法正确性的证明思路：
数学归纳法，叙述一个可以归纳证明的命题，并证明。
1） 对步数k归纳
对于任意k，k步贪心选择得到i1，i2，…，ik，那么存在最优解包含i1，i2，。。。，ik
2） 规模k归纳
对于任意k，贪心法得到关于规模为k的问题的最优解。
四、回溯法和分支估界法
适用于求解组合搜索和优化问题
求解条件：满足多米诺性质
解的表示：解向量，求解是不断扩充解向量的过程
回溯条件：
搜索问题---约束条件
优化问题---约束条件+代价函数
算法复杂性：
遍历搜索树的时间，最坏情况为指数，空间代价小
平均时间复杂性的估计：Monte Carlo方法
降低时间复杂性的主要途径：
利用对称性裁剪子树
划分成子问题
分支策略
深度优先、宽度有限、宽深结合、优先函数
五、求解组合优化问题的算法设计技术比较
