[家里蹲大学数学杂志]第293期_偏微分方程基础教程

1. 设 $0\leq c(x)\leq M$, $f\in L^\infty(\Omega)$, $u\in H^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ 是方程 \[ -\mbox{div }(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+c(x)|u|^{p-2}u=f \] 的弱下解, 其中 $p\geq 2$. 证明: 存在仅依赖于 $M,\ p$ 的常数 $R_0>0$, 使得当 $0<R\leq R_0$ 时, 对任意的 $x^0\in \Omega$

1 ( 15 分 ) 叙述二维 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的平均值公式 并用此证明 Laplace 方程的的极值原理.   2 ( 15 分 ) 用分离变量法求解下列问题: $$\bex \left\{\ba{lll} \frac{\p^2u}{\p t^2}-a^2\frac{\p^2u}{\p x^2}=0,&(x,t)\in Q=\sed{(x,t);\ 0<x<\pi,\ t>0},\\ u|_{x=0}=u|_{x=\pi}=0,&

1 (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $f\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 的充分必要条件是 \[ N(f)=\{ x\in \mathcal{X};\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal{X}$ 的闭线性子空间. 证明:  参见书 P 82 T 2.1.7(3).   2 (10 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$

    1. ($5'$) 利用 $\ve-N$ 语言证明 $$\bex \vlm{n}\frac{2015\cdot 2^n+20\sin n}{n!}=0. \eex$$   证明: 对 $\forall\ \ve>0$, 取 $$\bex N=\sez{\frac{4050}{\ve}}+1, \eex$$ 则当 $n\geq N$ 时, $$\bex \sev{\frac{2015\cdot 2^n+20\sin n}{n!}} \leq \frac{2015\cdot 2\cdots

 1. 方程  考虑 $\bbR^3$ 中有界区域 $\Omega$ 上如下的稳态流动: $$\bee\label{eq} \left\{\ba{ll} \Div(\varrho\bbu)=0,\\ \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu) -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n \varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$      2. 假设  先作一些初步的假设:   

因为还是有人到处传来传去,所以收回了, 要见请看: 家里蹲大学数学杂志目录  

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  第294期_微分方程与数学物理问题习题集   摘要: 本文给出了作者于 2011 年 10 月 10 日至 2011 年 10 月 31 日 看 Nail H. Ibragimov 的 <微分方程与数学物理问题: 经典方法和现代新方法, 非线性数学物理问题, 对称性和不变性理论> 时留下的习题全部解答.   下载提示: 点击链接后, 拉到最下端, 看见 "正在获取下载地址", 等待后点击"中国电信下载"即可. 下载后请自行打印与学习, 不要到处传播于