浙江大学2017年数学分析考研试题

2017年北京大学硕士研究生数学分析真题 1.(10分) 证明:$$\lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.$$ 2.(10分) 证明:$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$\alpha > \frac{1}{2}$. 3.(10分) 设$\sum_

转自(赵江彦): http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37148

1. 求极限 $$\bex \vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}. \eex$$   2. 求 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\sez{\frac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}\rd t +\frac{1}{3}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4}}. \eex$$     3. 设 $$\bex I(r)=\oint_L \dfrac{y

题目. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: \[ \sev{\int\limits_a^b\cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{f'(b)}. \] 证明: 由换元法及积分第二中值定理, $$\beex \bea \int_a^b \cos f(x)\rd x &=\int_{f(a)}^{f(b)} \frac{\cos y\rd y}{f'(f^{-1}(y))}\

中国科学院大学  2017 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:高等代数 考生须知:1. 本试卷满分为150 分,全部考试时间总计180 分钟:2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效. 1. (15分)证明:实系数多项式$f(x)$对所有实数$x$均有$f(x)\geq 0$,求证$f(x)$可以写成两实系数多项式的平方和$[g(x)]^2+[h(x)]^2$. 2. (15分) $f_i,i=1,\cdots,m,m<n$是$n$维线性空间$V$上$m$个

本文来自TangSong.   1.($15'$) 用开覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续. 2.$(15')$ $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数.叙述关于Riemann和 \[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\] 的Cauchy准则 (不用证明) 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积. 3.$(15')$ $(a,b)$ 上的连续函数 $f(x)$ 有反函数. 证明反函数连续. 4.$(15')$ $f(x_1,x_2,x_3)

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一. (1)证明:由于${{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2}),{{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}$,则${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2}),n=1,2,\cdots $ 且${{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}\le {{x}_{n}}$ 于是$\{{{x}_{n}}\}$单调递减且${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2})$ 由单调有界原理可知:$\

    1. 计算 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\rd t-x}{\sin x-x}. \eex$$     2. 讨论广义积分 $\dps{\int_1^\infty \sez{\ln \sex{1+\dfrac{1}{x}}-\sin \dfrac{1}{x}}}$ 的敛散性.     3. 函数 $$\bex f(x,y)=\sedd{\ba{ll} \sex{1-\cos \dfrac{x^2}{y}}\sqrt{x^2+y

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一: 1:解:\[\because \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ln (1+x)=x\] \[\therefore \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\ln (1+x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mat