《机器人自动化：建模、仿真与控制》一一2.1向量场的概念

2.1向量场的概念
下面提出向量场的概念，同时展示它对更好地理解系统的不同行为是很有帮助的。为了获得相关主题的更多细节，建议读者阅读Khalil的著作 ［KHA 02］。向量场是一个从Rn到Rn的连续函数f，当n=2时，可以用图形来表示函数f向量场。例如，在图21中绘制了与线性函数相关的向量场：

为了画出这张图，我们从初始集中取出一组向量，并给它加上网格，然后以每一个网格向量x为原点画出其图像向量f(x)。

图21与线性系统相关的向量场

可以用以下MATLAB代码生成这个向量场：

该程序也可以在文件field_syslinm中找到，从图中可看到这个线性系统的特征空间（虚线），也可以看到一个特征值是正的，而另一个是负的。这可以通过分析下面给出的线性系统矩阵得到验证：

它的特征值是2和－2，相应的特征向量为：

要注意的是，图中的向量x并不是一个特征向量，因为x和f(x)并不在同一条直线上。然而，所有特征子空间的向量（在图中以虚线表示）都是特征向量。沿着负特征值的特征子空间，场向量趋向于零点，相反，沿着正特征值的特征子空间，场向量趋向于无穷大。
对于一个自主系统（即没有输入的系统），其演化过程由方程x·(t)=f(x(t))给出。当f是一个从R2到R2的函数时，可通过画出与f相关的向量场来得到f的图形表示。得到的图形可以让我们更好地理解系统的行为