华东师范大学2017年数学分析考研试题

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2017年北京大学硕士研究生数学分析真题 1.(10分) 证明:$$\lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.$$ 2.(10分) 证明:$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$\alpha > \frac{1}{2}$. 3.(10分) 设$\sum_

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一. (1)证明:由于${{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2}),{{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}$,则${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2}),n=1,2,\cdots $ 且${{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}\le {{x}_{n}}$ 于是$\{{{x}_{n}}\}$单调递减且${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2})$ 由单调有界原理可知:$\

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$    解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$\bex \exists\ c\in (0,1),\st 0<f(c)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)|

一.计算题 ($6\times 5'=30'$) 1. $\dps{\vlm{n} \sex{\frac{1}{2n^2+1}+\frac{2}{2n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2n^2+n}}}$. 2. $\dps{\lim_{y\to 0}\int_y^{\frac{\pi}{2}+y}\frac{\cos x\rd x}{1+\sin x+y^2}}$. 3. $\dps{\lim_{y\to 0}\frac{\dps{\int_0^{x^2}\sin^\frac{3}{

1 计算 $$\bex \lim_{x\to \infty} \sex{\frac{4x+3}{4x-1}}^{2x-1}. \eex$$ 2计算 $$\bex \lim_{x\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln \frac{i\pi}{n}. \eex$$ 3求隐函数 $x^2+y^2=\cos(xy)$ 的导数. 4计算 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{x\int_0^x e^{t^2}\rd t}{\int_0^x te^{t^2

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一. 计算题 1:解: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\cdots (2n-1)}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\cdots [n+(n-1)](n+n)} $ $=\underset{n\to +\inft

来源  [尊重原有作者劳动成果]   一. (1)证明:由${{x}_{1}}=\frac{1}{2},{{x}_{2}}=\frac{3}{8},{{x}_{3}}=\frac{55}{128},\cdots $,猜测$\{{{x}_{2n+1}}\}$单调递减,$\{{{x}_{2n}}\}$单调递增 下用数归法先证$\sqrt{2}-1\le {{x}_{2n+1}}\le \frac{1}{2},\frac{3}{8}\le {{x}_{2n+1}}\le \sqrt{2}-1$ (1)