常用算法之动态规划法

            上一篇博客我们讲了分治法，紧接着讲动态规划法：动态规划法和分治法类似，它也是将大问题分解成子问题求解，求最优解，不同的是，如果分解的子问题有很多是相同的，采用分治法相同的子问题会求解多次，很影响效率；动态规划法呢，它会保存已解决的子问题的答案，再有相同的子问题直接用保存的答案就行了，节省了很多计算时间。

      如一张图表示：

例：

解：我们先求F(5)的解，如下，以二叉树的结构表示

    通过二叉树，我们注意到，F(n)是通过计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。通过下面的表会发现：后一个数等于前面两个数的和。（这就是著名的斐波那契数）

所以，使用动态规划法的情况，对于一个问题具有的性质可以总结为：最优子结构，重叠子问题

适用情况：

   (1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

      (2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

    （3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

 应用实例：

<span style="font-size:14px;">  public class CoinsChange {
        /**
         * 硬币找零：动态规划算法
         *
         * @param values
         *            :保存每一种硬币的币值的数组
         * @param valueKinds
         *            :币值不同的硬币种类数量，即coinValue[]数组的大小
         * @param money
         *            :需要找零的面值
         * @param coinsUsed
         *            :保存面值为i的纸币找零所需的最小硬币数
         */
        public static void makeChange(int[] values, int valueKinds, int money,
                int[] coinsUsed) {  

            coinsUsed[0] = 0;
            // 对每一分钱都找零，即保存子问题的解以备用，即填表
            for (int cents = 1; cents <= money; cents++) {  

                // 当用最小币值的硬币找零时，所需硬币数量最多
                int minCoins = cents;  

                // 遍历每一种面值的硬币，看是否可作为找零的其中之一
                for (int kind = 0; kind < valueKinds; kind++) {
                    // 若当前面值的硬币小于当前的cents则分解问题并查表
                    if (values[kind] <= cents) {
                        int temp = coinsUsed[cents - values[kind]] + 1;
                        if (temp < minCoins) {
                            minCoins = temp;
                        }
                    }
                }
                // 保存最小硬币数
                coinsUsed[cents] = minCoins;  

                System.out.println("面值为 " + (cents) + " 的最小硬币数 : "
                        + coinsUsed[cents]);
            }
        }  

        public static void main(String[] args) {  

            // 硬币面值预先已经按降序排列
            int[] coinValue = new int[] { 25, 21, 10, 5, 1 };
            // 需要找零的面值
            int money = 63;
            // 保存每一个面值找零所需的最小硬币数，0号单元舍弃不用，所以要多加1
            int[] coinsUsed = new int[money + 1];  

            makeChange(coinValue, coinValue.length, money, coinsUsed);
        }
    } </span>