[物理学与PDEs]第2章第3节 Navier-Stokes 方程组

1.  当流体的压力 $p$ 及温度 $T$ 改变时, 密度 $\rho$ 变化很小. 此时可近似地把流体看作是不可压的, 而 $\rho=\const$. 如此, 流体动力学方程组中的质量、动量守恒方程组可化为 $$\bee\label{2_3_NSE} \bea \Div{\bf u}&=0,\\ \cfrac{\rd{\bf u}}{\rd t}-\mu\lap{\bf u}+\n p&={\bf F}. \eea \eee$$

 

 

2.  \eqref{2_3_NSE} 的求解一般先把 $p$ 抹掉, 而依赖于如下引理: 设 ${\bf u}$ 在 $\Omega$ 中适当光滑, 则 ${\bf u}$ 可唯一表成 $$\bex {\bf u}={\bf w}+\n p, \eex$$ 其中 ${\bf w}$ 满足 $$\beex \bea \Div{\bf w}=0,&\quad\mbox{in }\Omega,\\ {\bf w}\cdot{\bf n}=0,&\quad\mbox{on }\p \Omega; \eea \eeex$$ 且当 ${\bf u}\in L^2(\Omega)$ 时, ${\bf w}\in L^2(\Omega)$, 可选 $p\in H^1(\Omega)$.

时间： 2024-08-01 16:59:52

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5. 6 弹性静力学方程组的定解问题           5. 6. 1 线性弹性静力学方程组         1.  线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3.  \eee$$     2.  (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\

[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.2 理想流体力学方程组

1.  质量守恒定律: 连续性方程 $$\bee\label{2_1_2_zl} \cfrac{\p\rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0.  \eee$$   2.  动量守恒定律: $$\bee\label{2_1_2_dl} \cfrac{\p}{\p t}(\rho{\bf u})+\Div(\rho{\bf u}\otimes {\bf u}+p{\bf I})=\rho{\bf F}. \eee$$ 用 \eqref{2_1_2_zl} 可化简 \eqref{

[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.3 理想流体力学方程组的数学结构

1.  局部音速 $c$: $c^2=\cfrac{\p p}{\p \rho}>0$.     2.  将理想流体力学方程组 $$\beex \bea \rho\cfrac{\p {\bf u}}{\p t} +(\rho {\bf u}\cdot\n){\bf u}+\n p&=\rho{\bf F},\\ \cfrac{1}{\rho c^2}\cfrac{\p p}{\p t} +\n\cdot{\bf u}+\cfrac{1}{\rho c^2}({\bf u}\cdot\n)p&

[物理学与PDEs]第5章第5节 弹性动力学方程组及其数学结构

5.5.1 线性弹性动力学方程组     1.  线性弹性动力学方程组 $$\beex \bea 0&=\rho_0\cfrac{\p{\bf v}}{\p t}-\Div_x{\bf P}-\rho_0{\bf b}\\ &=\rho_0\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}} -\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}\quad\sex{{\bf u}={\bf y}-{\bf x}}\\ &=\

[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.3 广义 Newton 法则---本构方程

1.  ${\bf P}=(p_{ij})$, 而 $$\bex p_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij}, \eex$$ 其中 $\tau_{ij}$ 对应于摩擦切应力.     2.  由于内摩擦力只与相对运动有关, 而 $\tau_{ij}$ 与速度无关, 而只与速度梯度有关, 且为线性的 (实验已很好的证实): $$\bex \tau_{ij}=c_{ijkl}\cfrac{\p u_k}{\p x_l}. \eex$$ 由于 $(\tau_{ij})$ 和 $\se

[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.1 考虑到导电媒质 (等离子体) 的运动对 Maxwell 方程组的修正

1.  Maxwell 方程组 $$\bee\label{3_2_1_Maxwell} \bea \Div{\bf D}&=\rho_f,\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p {\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf H}&=\cfrac{\p {\bf D}}{\p t}+{\bf j}_f, \eea \eee$$ 其中 ${\bf D}=\ve {\bf E}$, ${\bf B}=\mu{\bf H}$

[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.1 引言

1.  实际的流体与理想流体的主要区别在于: 前者具有粘性 (内摩擦) 和热传导.     2.  内摩擦     (1)  当两层流体有相对运动时, 方有摩擦力; 它是一种内力; 单位面积上所受的内力称为应力; 而它通常与表面相切, 而称为切应力.     (2)  Newton 假设摩擦力与速度梯度成正比; 满足此假设的称为 Newton 流体; 而不满足的称为非 Newton 流体.     3.  热传导     (1)  Fourier 实验定律: $$\bex \rd q=-\kap

[物理学与PDEs]第2章第5节 一维流体力学方程组的 Lagrange 形式 5.4 一维粘性热传导流体力学方程组的 Lagrange 形式

1. 一维粘性热传导流体力学方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p\rho}{\p t}+\cfrac{\p }{\p x}(\rho u)&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+u\cfrac{\p u}{\p x} +\cfrac{1}{\rho}\cfrac{\p p}{\p x} -\cfrac{1}{\rho}\cfrac{\p }{\p x}\sez{\sex{\cfrac{4\mu}{3}+\mu'}\cfrac{\p u}{\p x}}&=F,\\

[物理学与PDEs]第3章第2节 磁流体力学方程组 2.2 考虑到电磁场的存在对流体力学方程组的修正

1.  连续性方程 $$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div(\rho{\bf u})=0.  \eex$$     2.  动量守恒方程 $$\bex \cfrac{\p }{\p t}(\rho{\bf u}) +\Div(\rho {\bf u}\otimes{\bf u}-{\bf P}) -\mu\rot{\bf H}\times{\bf H}=\rho {\bf F}, \eex$$ 或 $$\bex \rho \cfrac{\rd {\bf u}}{\rd

[物理学与PDEs]第2章第1节 理想流体力学方程组 1.1 预备知识

1.  理想流体: 指忽略粘性及热传导的流体.   2.  流体的状态 (运动状态及热力学状态) 的描述   (1)   速度向量 $\bbu=(u_1,u_2,u_3)$: 流体微元的宏观运动速度.   (2)   质量密度 $\rho$: 单位体积流体的质量. a.  质量流向量 (动量密度向量) $\rho\bbu$; b.  动量流张量 $\rho \bbu\otimes \bbu$; c.  比容 $\tau=\cfrac{1}{\rho}$: 单位质量流体的体积.   (3)   压