[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 发散级数 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$, 级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $\dps{\vsm{n}\cfrac{a_n}{S_n}}$ 发散.

证明: 对任意固定的 $n$, 由 $S_{n+p}\to \infty\ (p\to\infty)$ 知 $$\bex \exists\ p,\st \cfrac{S_n}{S_{n+p}}<\cfrac{1}{2}. \eex$$ 而 $$\bex \sum_{k=n+1}^{n+p}\cfrac{a_k}{S_k}\geq \cfrac{S_{n+p}-S_n}{S_{n+p}} =1-\cfrac{S_n}{S_{n+p}}\geq \cfrac{1}{2}. \eex$$

时间： 2024-07-30 21:11:34

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再寄小读者之数学篇

此栏目主要用于回答一些同学.学生.网友的数学问题, 自己整理的一些内容. 有些已给出解答, 有一些没有 (可能懒得写, 也可能确实不知道), 如您知道, 欢迎告知 (可以是tex编辑, mathtype编辑, word编辑, pdf编辑, 可写上您的大名或者笔名, 我会放到相应位置去). 如您需要 pdf 文件, 请通过支付宝购买 (打款至 zhangzujin361@163.com,在付款说明中注明你所需要的哪一期), 一般1-2日内发货 (节假日除外), 价格为: ($5\times 2=1

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